Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且3S_n=4a_n-4ⁿ⁺¹-4（n∈N^*），令bn=

an

4n

．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若f（n）=a_n-2（n∈N^*），用數(shù)學歸納法證明f（n）是18的倍數(shù)．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 由3S_n=4a_n-4ⁿ⁺¹-4（n∈N^*），得出當n≥2時，3Sn-1=4an-1-4n-4，兩式相減，整理得出an= 4an-1+3×4n，易證明數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列．
（Ⅱ）f（n）=（3n+2）•4ⁿ-2，按照數(shù)學歸納法的步驟進行證明即可．

解答：解：（Ⅰ）當n=1時，3S1=4a1-42-4，∴a₁=20
當n≥2時，3Sn-1=4an-1-4n-4
∴3Sn-3Sn-1=4an -4an-1-3×4n
即an= 4an-1+3×4n
b_n-b_n-1=

an

4n

-

an-1

4n-1

=3
所以數(shù)列{b_n}是以3為公差的等差數(shù)列，首項b₁=

a1

4

=5
數(shù)列{b_n}的通項公式為b_n=5+（n-1）×3=3n+2．
得出a_n=（3n+2）•4ⁿ
（Ⅱ）f（n）=（3n+2）•4ⁿ-2
①當n=1時，f（1）=18，顯然能被18整除；
②假設當n=k（k≥1）時，f（k）=（3k+2）•4^k-2能被18整除，
則當n=k+1時，f（k+1）=（3k+3+2）•4^k+1-2=4×（3k+2）•4^k-2+3×4^k+1
=（3k+2）•4^k-2+12×4^k+3×（3k+2）•4^k
=（3k+2）•4^k-2+（9k+18）•4^k
=f（k）+9（k+2）•4^k
∵k≥1，∴9（k+2）•4^k能被18整除．
又f（k）能被18整除，∴f（k+1）能被18整除．
即 當n=k+1時 結論成立．
由①②知，當n∈N^*時，f（n）是18的倍數(shù)．

點評：本題考查等差數(shù)列的判定、通項公式求解，考查變形構造、轉化計算能力．還考查數(shù)學歸納法．