Question

在三棱錐P-ABC中，PA⊥PB，PA⊥PC，PB⊥PC，點(diǎn)D、E分別是棱BC、AP的中點(diǎn)．
（1）試用反證法證明直線DE與直線CP是異面直線；
（2）若PA=PB=PC=4，F(xiàn)為棱AB上的點(diǎn)，且，求二面角D-EF-B的大�。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）．

Answer 1

解：（1）證明：（反證法）假設(shè)DE與CP不是異面直線．（2分）
設(shè)DE與CP都在平面α上．∵P∈α，E∈α，∴PE?α．∵A∈PE，∴A∈α．
又∵C∈α，D∈α，∴CD?α．∵B∈CD，∴B∈α．
∴點(diǎn)A、B、C、P都在平面α上，這與P、A、B、C不共面（P-ABC是三棱錐）矛盾，于是，假設(shè)不成立．（5分）
所以直線DE與CP是異面直線．（6分）
（2）按如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系．　　　　　　　　　　　�。�7分）
由題可知，A（4，0，0）、B（0，4，0）、C（0，0，4），進(jìn)一步有D（0，2，2）、
E（2，0，0）、F（3，1，0），且平面EFB的一個(gè)法向量為．
設(shè)平面DEF的一個(gè)法向量為，則，即．
取x=1，得y=-1，z=2．
所以．　　　　　　　　 　　　　　　　 　　（9分）
記，于是，，．　　　 　　�。�10分）
結(jié)合圖形可以判斷二面角D-EF-B是銳角，因此二面角D-EF-B的大小為．　　　　　　　　　　�。�12分）
分析：（1）用反證法證明，假設(shè)DE與CP不是異面直線．設(shè)DE與CP都在平面α上．由P∈α，E∈α，知PE?α．A∈α．由C∈α，D∈α，CD?α．知B∈α．從而得到點(diǎn)A、B、C、P都在平面α上，這與P、A、B、C不共面（P-ABC是三棱錐）矛盾，由此得到直線DE與CP是異面直線．
（2）建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系．借助法向量用向量法求二面角D-EF-B的大�。�
點(diǎn)評：本題考查異面直線的證明和二面角的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意反證法和向量法的靈活運(yùn)用．