Question

【題目】如圖，在正四棱柱中， 為底面的對角線， 為的中點.

(1)求證： ；

(2)求證： 平面.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】試題分析：（1）連接,由正四棱柱的結(jié)構(gòu)特征,用正方形對角線互相垂直的性質(zhì),結(jié)合線面垂直的判定定理我們可以證明出平面,進而根據(jù)線面垂直的性質(zhì)得到；（2），連接，由三角形中位線定理，我們可得，再由線面平行的判定定理，即可得到平面.

試題解析：⑴，在正四棱柱 ，

平面，四邊形是正方形 ，

平面， 平面，

， 四邊形 是正方形 ，

， ，

平面， 平面， ，

⑵設(shè)，連結(jié)，

四邊形是正方形 ，

， 是的中點， 是的中位線，

， 平面平面，

平面.

【方法點晴】本題主要考查線面平行的判定定理、直線和平面垂直的判定與性質(zhì)，屬于中檔題.證明線面平行的常用方法：①利用線面平行的判定定理，使用這個定理的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.②利用面面平行的性質(zhì)，即兩平面平行，在其中一平面內(nèi)的直線平行于另一平面. 本題（2）是就是利用方法①證明的.