Question

7．設(shè)三角形ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，3a=5csinA，cosB=-$\frac{5}{13}$．
（1）求sinA的值；
（2）設(shè)△ABC的面積為$\frac{33}{2}$，求b．

Answer 1

分析 （1）cosB=-$\frac{5}{13}$，B為鈍角，可得sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$．由3a=5csinA，由正弦定理可得：3sinA=5sinCsinA，sinA≠0，可得sinC=$\frac{3}{5}$，cosC=$\sqrt{1-si{n}^{2}A}$．可得sinA=sin（B+C）．
（2）利用正弦定理可得△ABC的面積為$\frac{33}{2}$=$\frac{1}{2}acsinB$=$\frac{1}{2}$×$\frac{bsinA}{sinB}$×$\frac{bsinC}{sinB}$×sinB．

解答 解：（1）∵cosB=-$\frac{5}{13}$，∴B為鈍角，sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{12}{13}$．
∵3a=5csinA，由正弦定理可得：3sinA=5sinCsinA，sinA≠0，
可得sinC=$\frac{3}{5}$，cosC=$\sqrt{1-si{n}^{2}A}$=$\frac{4}{5}$．
∴sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=$\frac{12}{13}×\frac{4}{5}$-$\frac{5}{13}×\frac{3}{5}$=$\frac{33}{65}$．
（2）$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}$，可得a=$\frac{bsinA}{sinB}$，c=$\frac{bsinC}{sinB}$．
△ABC的面積為$\frac{33}{2}$=$\frac{1}{2}acsinB$=$\frac{1}{2}$×$\frac{bsinA}{sinB}$×$\frac{bsinC}{sinB}$×sinB=$\frac{^{2}}{2}$×$\frac{\frac{33}{65}×\frac{3}{5}}{\frac{12}{13}}$，
解得b=10．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦定理、和差公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、三角形面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．