已知點P是橢圓
x24
+y2=1上的在第一象限內(nèi)的點，又A（2，0）、B（0，1），O是原點，則四邊形OAPB的面積的最大值是
 
．
分析：利用三角函數(shù)來解答這道題，橢圓方程
x2
4
+y2=1上 里面的自變量x，y可以表示為 x=2cosa y=sina 本題中要求第一象限，這樣就應(yīng)該有0＜a＜π，設(shè)P為（2cosa，sina）這樣四邊形OAPB的面積就可以表示為兩個三角形OAP和OPB面積之和，對于三角形OAP有面積S1=sina 對于三角形OBP有面積S2=cosa 這樣四邊形的面積S=S1+S2=sina+cosa也就相當(dāng)于求解sina+cosa的最大值，0＜a＜π，sina+cosa=
2
sin（a+
π
4
）這樣其最大值就應(yīng)該為
2
，并且當(dāng)且僅當(dāng)a=
π
4
時成立．
解答：解：由于點P是橢圓
x2
4
+y2=1上的在第一象限內(nèi)的點，
 設(shè)P為（2cosa，sina）即x=2cosa y=sina （0＜a＜π），
這樣四邊形OAPB的面積就可以表示為兩個三角形OAP和OPB面積之和，
對于三角形OAP有面積S1=sina 對于三角形OBP有面積S2=cosa
∴四邊形的面積S=S1+S2=sina+cosa
=
2
sin（a+
π
4
）
其最大值就應(yīng)該為
2
，
并且當(dāng)且僅當(dāng)a=
π
4
時成立．所以，面積最大值
2
．
故答案為：
2
．
點評：本題主要考查了橢圓的簡單性質(zhì)，解答的關(guān)鍵在于利用橢圓的參數(shù)方程設(shè)出橢圓上一點的坐標(biāo)，利用三角函數(shù)的有界性求最值．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知點P是橢圓
y2
5
+
x2
4
=1上的一點，F1和F2是焦點，且∠F1PF2=30°，求△F1PF2的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知點P（x，y）為橢圓
x2
4
+y2=1上一點，F(xiàn)1、F2為橢圓左、右焦點，下列結(jié)論中：①△PF1F2面積的最大值為
2
；②若過點P、F2的直線l與橢圓的另一交點為Q，則△PF1Q的周長為8；③若過點P、F2的直線l與橢圓的另一交點為Q，則恒有
|PF2|+|QF2|
|PF2|•|QF2|
=4；對定點A(
3
2
，
1
2
)，則|
PA
|+|
PF2
|的取值范圍為[4-
7
，4+
7
．其中正確結(jié)論的番號是
②③④
②③④
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知點P是橢圓
y2
5
+
x2
4
=1上的一點，F1和F2是焦點，且∠F1PF2=30°，求△F1PF2的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

已知點P是橢圓
x2
4
+y2=1上的在第一象限內(nèi)的點，又A（2，0）、B（0，1），O是原點，則四邊形OAPB的面積的最大值是______．

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