Question

（2012•昌平區(qū)一模）已知數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，a₃=10，a₆=22，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和是S_n，且Sn+

1

3

bn=1．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求證：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列．

Answer 1

分析：（I）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合a₃=10，a₆=22，建立方程組，求得首項(xiàng)與公差，從而可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（II）Sn=1-

1

3

bn，當(dāng)n≥2時(shí)，Sn-1=1-

1

3

bn-1，兩式相減，即可證得數(shù)列{b_n}是以

3

4

為首項(xiàng)，

1

4

為公比的等比數(shù)列．

解答：（I）解：由已知，∵數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，a₃=10，a₆=22，
∴

a1+2d=10 a1+5d=22.

，解得 a₁=2，d=4．
∴a_n=2+（n-1）×4=4n-2．…（6分）
（II）證明：由于Sn=1-

1

3

bn，①
令n=1，得b1=1-

1

3

b1，解得b1=

3

4

，
當(dāng)n≥2時(shí)，Sn-1=1-

1

3

bn-1②
①-②得bn=

1

3

bn-1-

1

3

bn，
∴bn=

1

4

bn-1
又b1=

3

4

≠0，∴

bn

bn-1

=

1

4

．
∴數(shù)列{b_n}是以

3

4

為首項(xiàng)，

1

4

為公比的等比數(shù)列．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)，等比數(shù)列的證明，解題的關(guān)鍵是掌握解決數(shù)列問(wèn)題的基本方法．