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已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0),且雙曲線的一條漸近線截圓(x-3)2+y2=8所得弦長為4,則雙曲線的離心率為
 
考點:雙曲線的簡單性質
專題:計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程
分析:先根據雙曲線方程求得其中一條漸近線方程,根據題意可知圓心到漸近線的距離為2,進而表示出圓心到漸近線的距離,求得a,b的關系,即可求出雙曲線的離心率.
解答: 解:依題意可知雙曲線的一漸近線方程為bx-ay=0,
∵弦長為4,圓的半徑為2
2
,
由弦長的一半、半徑和圓心到直線的距離構成直角三角形,
則圓心到漸近線的距離d=
8-4
=2,
|3b|
a2+b2
=2,解得b=
2
5
a,
∴c=
a2+b2
=
3
5
a,
∴雙曲線的離心率為e=
c
a
=
3
5
5

故答案為:
3
5
5
點評:本題主要考查了雙曲線的簡單性質.解題的關鍵是利用圓中弦長的一半、半徑和圓心到直線的距離構成直角三角形,求得圓心到漸近線的距離.
練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

下列推理是否正確?若不正確,指出錯誤之處.
(1)求證:四邊形的內角和等于360°.
證明:設四邊形ABCD是矩形,則它的四個角都是直角,有∠A+∠B+∠C+∠D=90°+90°+90°+90°=360°,所以四邊形的內角和為360°.
(2)已知
2
3
都是無理數,試證:
2
+
3
也是無理數.
證明:設
2
3
都是無理數,而無理數與無理數之和是無理數,
所以
2
+
3
必是無理數.
(3)已知實數m滿足不等式(2m+1)(m+2)<0,用反證法證明:關于x的方程x2+2x+5-m2=0無實根.
證明:假設方程x2+2x+5-m2=0有實根.由已知實數m滿足不等式(2m+1)(m+2)<0,解得-2<m<-
1
2
,又關于x的方程x2+2x+5-m2=0的判別式△=4-4(5-m2)=4(m2-4),∵-2<m<-
1
2
,∴
1
4
<m2<4,∴△<0,即關于x的方程x2+2x+5-m2=0無實根.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知橢圓
x2
16
+
y2
4
=1的弦AB的中點M的坐標為(2,1),求直線AB的方程,并求AB的長.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知tan(α+
π
4
)=
1
2
,且-
π
2
<α<0
,則
2sin2α+sin2α
cos(α-
π
4
)
=
 

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知f(x)=-
1
2
x2
+3x-2lnx在[t,t+1]上不單調,則實數t的取值范圍是
 

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科目:高中數學 來源: 題型:

一個骰子連續(xù)投2次,點數和為6的概率為
 

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實數x,y滿足
x-y+1≤0
x+y-1≥0
x-2y+a≥0
,若點(x,y)構成的平面區(qū)域中恰好有2個整點(橫縱坐標均為整數),則實數a的取值范圍是
 

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科目:高中數學 來源: 題型:

若函數f(x)滿足f(x+1)=2f(x),且f(0)=2,則f(-5)=
 

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科目:高中數學 來源: 題型:

一個社會調查機構就某地居民的月收入調查了10000人,并根據所得數據畫了樣本的頻率分布直方圖(如下圖).為了分析居民的收入與年齡、學歷、職業(yè)等方面的關系,要從這10000人中再用分層抽樣方法抽出80人作進一步調查,則在[1500,2000)(元)月收入段應抽出的人數為
 
人.

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