已知在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=1,若二面角C-AB-C1的大小為60°,則BC與平面ABC1所成的角的正弦值為
 
考點:直線與平面所成的角
專題:空間角
分析:如圖所示,取AB的中點M,連接CM,C1M.由等邊三角形的性質(zhì)可得:CM⊥AB.CC1⊥AB,可得AB⊥平面C1MC,
因此∠CMC1二面角C-AB-C1的平面角,可得CM=
3
2
,C1M=
3
,CC1=
3
2
.過點C作CO⊥C1M,連接OB.AB⊥平面C1MC,可得平面ABC1⊥平面C1MC,CO⊥平面ABC1.∠OBC是BC與平面ABC1所成的角.利用直角三角形的邊角關系即可得出.
解答: 解:如圖所示,取AB的中點M,連接CM,C1M.
∵△ABC是等邊三角形,
∴CM⊥AB.
又C1C⊥平面ABC,
∴CC1⊥AB.
又CM∩MC1=M,
∴AB⊥平面C1MC,
∴∠CMC1二面角C-AB-C1的平面角,其大小為60°.
∵AB=1,∴CM=
3
2
,
∴C1M=
3
CC1=
3
2

過點C作CO⊥C1M,連接OB.
∵AB⊥平面C1MC,
∴平面ABC1⊥平面C1MC,
∴CO⊥平面ABC1
∴∠OBC是BC與平面ABC1所成的角.
在△CMC1中,可得OC=
CM•CC1
C1M
=
3
4

∴sin∠OBC=
OC
BC
=
3
4

故答案為:
3
4
點評:本題考查了空間角的求法、正三棱柱的性質(zhì)、線面面面垂直的判定與性質(zhì)定理、直角三角形的邊角關系,考查了空間想象能力,考查了推理能力與計算能力,屬于難題.
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若向量
a
=(1,2)與向量
b
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B、2
C、-
1
2
D、
1
2

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+
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(2)x2+9y2=36與
x2
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10
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a
b
的夾角是鈍角”的充要條件是“
a
b
<0”

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