考點:直線與平面所成的角
專題:空間角
分析:如圖所示,取AB的中點M,連接CM,C
1M.由等邊三角形的性質(zhì)可得:CM⊥AB.CC
1⊥AB,可得AB⊥平面C
1MC,
因此∠CMC
1二面角C-AB-C
1的平面角,可得CM=
,C
1M=
,
CC1=.過點C作CO⊥C
1M,連接OB.AB⊥平面C
1MC,可得平面ABC
1⊥平面C
1MC,CO⊥平面ABC
1.∠OBC是BC與平面ABC
1所成的角.利用直角三角形的邊角關系即可得出.
解答:
解:如圖所示,取AB的中點M,連接CM,C
1M.
∵△ABC是等邊三角形,
∴CM⊥AB.
又C
1C⊥平面ABC,
∴CC
1⊥AB.
又CM∩MC
1=M,
∴AB⊥平面C
1MC,
∴∠CMC
1二面角C-AB-C
1的平面角,其大小為60°.
∵AB=1,∴CM=
,
∴C
1M=
,
CC1=.
過點C作CO⊥C
1M,連接OB.
∵AB⊥平面C
1MC,
∴平面ABC
1⊥平面C
1MC,
∴CO⊥平面ABC
1.
∴∠OBC是BC與平面ABC
1所成的角.
在△CMC
1中,可得
OC==
.
∴sin∠OBC=
=
.
故答案為:
.
點評:本題考查了空間角的求法、正三棱柱的性質(zhì)、線面面面垂直的判定與性質(zhì)定理、直角三角形的邊角關系,考查了空間想象能力,考查了推理能力與計算能力,屬于難題.