Question

已知函數(shù)f（x）=asin（

π

2

+ωx）•sin（ωx+

π

3

）（a≠0，ω＞0，x∈R），函數(shù)y=f（x）的最小正周期為π．
（1）求ω的值；
（2）將函數(shù) f（x）的圖象向右平移

π

3

個(gè)單位后得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求y=g（x）在[0，

π

2

]上的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)的最值,由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由三角函數(shù)公式化簡(jiǎn)可得f（x）=

1

2

asin（2ωx+

π

3

）+

3

4

a，由周期可得ω=1；
（2）由圖象變換可得g（x）=

1

2

asin（2x-

π

3

）+

3

4

a，由x∈[0，

π

2

]可得sin（2x-

π

3

）∈[-

3

2

，1]，對(duì)a分類討論可得答案．

解答： 解：（1）化簡(jiǎn)可得f（x）=asin（

π

2

+ωx）•sin（ωx+

π

3

）
=acosωx•（

1

2

sinωx+

3

2

cosωx）
=

1

2

asinωxcosωx+

3

2

acos²ωx
=

1

4

asin2ωx+

3

4

a（1+cos2ωx）
=

1

2

asin（2ωx+

π

3

）+

3

4

a
∵函數(shù)y=f（x）的最小正周期為π，
∴

2π

2ω

=π，解得ω=1；
（2）由（1）知f（x）=

1

2

asin（2x+

π

3

）+

3

4

a，
將函數(shù) f（x）的圖象向右平移

π

3

個(gè)單位后得到函數(shù)y=g（x）的圖象，
∴g（x）=

1

2

asin[2（x-

π

3

）+

π

3

]+

3

4

a=

1

2

asin（2x-

π

3

）+

3

4

a，
∵x∈[0，

π

2

]，∴2x-

π

3

∈[-

π

3

，

2π

3

]，∴sin（2x-

π

3

）∈[-

3

2

，1]，
當(dāng)a＞0時(shí)，g（x）的最大值為

1

2

a×1+

3

4

a=

1

2

a+

3

4

a，
當(dāng)a＜0時(shí)，g（x）的最大值為

1

2

a×（-

3

2

）+

3

4

a=0

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的最值，涉及三角函數(shù)的周期性和分類討論的思想，屬中檔題．