Question

15．如圖，已知長方形ABCD中，AB=2$\sqrt{2}$，AD=$\sqrt{2}$，M為DC的中點(diǎn)．將△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．

（ I）求證：AD⊥BM；
（ II）若點(diǎn)E是線段DB上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)二面角E-AM-D的余弦值為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$時(shí)，求線段DE的長．

Answer 1

分析 （I）推導(dǎo)出AM⊥BM，從而BM⊥平面ADM，由此能證明AD⊥BM．
（II）以O(shè)為原點(diǎn)，OA為x軸，在平面ABCD內(nèi)過O作OA的垂線為y軸，OD為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出線段DE的長．

解答 （本題滿分12分）
證明：（I）∵長方形ABCD中，AB=2$\sqrt{2}$，AD=$\sqrt{2}$，M為CD的中點(diǎn)，
AM=BM=2，
∴AM⊥BM，
又$\left\{\begin{array}{l}平面ADM⊥平面ABCM\\ 平面ADM∩平面ABCM=AM\\ BM?平面ABCM\end{array}\right.$
∴BM⊥平面ADM，
∵AD?平面ADM，∴AD⊥BM．
解：（II）以O(shè)為原點(diǎn)，OA為x軸，在平面ABCD內(nèi)過O作OA的垂線為y軸，OD為z軸，
建立如圖所示的O-xyz直角坐標(biāo)系，
則A（1，0，0），B（-1，2，0），D（0，0，1），M（-1，0，0）
平面AMD的一個(gè)法向量$\overrightarrow n=（0，1，0）$，
設(shè)$\overrightarrow{DE}=λ\overrightarrow{DB}$，$\overrightarrow{ME}=\overrightarrow{MD}+λ\overrightarrow{DB}=（1-λ，2λ，1-λ）$，$\overrightarrow{AM}=（-2，0，0）$，
設(shè)平面AME的一個(gè)法向量為$\overrightarrow m=（x，y，z）$，
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AM}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{ME}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}2x=0\\ 2λy+（1-λ）z=0\end{array}\right.$，
取y=1，得$x=0，y=1，z=\frac{2λ}{1-λ}$，得$\overrightarrow m=（0，1，\frac{2λ}{1-λ}）$，而$\overrightarrow n=（0，1，0）$
∵二面角E-AM-D的余弦值為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴$cos＜\overrightarrow m，\overrightarrow n＞=\frac{\overrightarrow m•\overline n}{|\overrightarrow m|•|\overrightarrow n|}=\frac{1}{{\sqrt{1+{{（\frac{2λ}{1-λ}）}^2}}}}=\frac{1}{{\sqrt{2}}}$，
得$1+{（\frac{2λ}{1-λ}）^2}=2$，解得$λ=\frac{1}{3}$
因?yàn)?|BD|=\sqrt{6}$，故$|DE|=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線線垂直的證明，考查線段長的求法，是中檔題，注意向量法的合理運(yùn)用．