已知f（x）=lnx，數(shù)學公式（a∈R）．
（1）求f（x）-g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若x≥1時，f（x）≤g（x）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

解：（1），
當△=1+4a≤0，即時，F(xiàn)′（x）≤0，
∴F（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減
當△＞0，即時，，
①時，x1≤0，x2＞0，單調(diào)增區(qū)間為（0，x2），單調(diào)減區(qū)間為（x2，+∞）
②a＞0時，x1＞0，x2＞0，單調(diào)增區(qū)間為（x1，x2），，單調(diào)減區(qū)間為（0，x1），（x2，+∞）
綜上：①時，F(xiàn)（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減
②時，x1≤0，x2＞0，單調(diào)增區(qū)間為（0，x2），單調(diào)減區(qū)間為（x2，+∞）
③a＞0時，x1＞0，x2＞0，單調(diào)增區(qū)間為（x1，x2），單調(diào)減區(qū)間為（0，x1），（x2，+∞）
（2）恒成立，等價于a≥[xlnx-x2]max
k（x）=xlnx-x2，k′（x）=1+lnx-2x，
k′（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞減，
k′（x）≤k′（1）=-1＜0，
k（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞減，
∴k（x）的最大值為k（1）=-1，
所以a≥-1
分析：（1）構(gòu)造新函數(shù)，對于新函數(shù)求導(dǎo)，利用二次函數(shù)的判別式整理出函數(shù)的單調(diào)性，討論a的值，根據(jù)a的值不同求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)與0的關(guān)系不同，寫出對應(yīng)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（2）函數(shù)恒成立等價于a≥[xlnx-x2]max．構(gòu)造新函數(shù)只要求出新函數(shù)的最大值，問題就可以解決，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值，得到結(jié)果．
點評：不同考查函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求最值，不同解題的關(guān)鍵是求出構(gòu)造的新函數(shù)的最值，這種函數(shù)的思想在函數(shù)綜合題目中應(yīng)用的比較多．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

定義在（0，+∞）上的三個函數(shù)f（x）、g（x）、h（x），已知f（x）=lnx，g（x）=x2-af（x），h（x）=x-a
x
，且g（x）在x=1處取得極值．
（1）求a的值及h（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求證：當1＜x＜e2時，恒有x＜
2+f(x)
2-f(x)
；
（3）把h（x）對應(yīng)的曲線C1向上平移6個單位后得到曲線C2，求C2與g（x）對應(yīng)曲線C3的交點的個數(shù)，并說明道理．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f（x）=lnx，g(x)=x+
a
x
（a∈R）．
（1）求f（x）-g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若x≥1時，f（x）≤g（x）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）當n∈N*，n≥2時，證明：
ln2
3
•
ln3
4
•…•
lnn
n+1
＜
1
n
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f（x）=lnx-
a
x
．
（Ⅰ）當a＞0時，判斷f（x）在定義域上的單調(diào)性；
（Ⅱ）若f（x）＜x2在（1，+∞）上恒成立，試求a的取值范圍；
（Ⅲ）若f（x）在[1，e]上的最小值為
3
2
，求a的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f（x）=lnx，g（x）=x2-x，
（1）求函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）當x∈[-2，0]時，g（x）≤2c2-c-x3恒成立，求c的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f（x）=lnx+cosx，則f（x）在x=
π2
處的導(dǎo)數(shù)值為
 
．

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