【題目】已知點(diǎn)M,N,P,Q在同一個(gè)球面上,且,則該球的表面積是,則四面體MNPQ體積的最大值為( )
A.10B.C.12D.5
【答案】A
【解析】
由已知可得△PNM為直角三角形,畫出圖形,可知要使四面體MNPQ體積取最大值,則球心O在過PM中點(diǎn)O′與面MNP垂直的直線上,由球的表面積求得半徑,利用勾股定理求出三棱錐的高,可得四面體MNPQ體積的最大值.
如圖,
由MN=3,NP=4,MP=5,
可知,所以∠PNM=90°
設(shè)四面體MNPQ的外接球的半徑為R,由球的表面積是,
得,即R.
要使四面體MNPQ體積取最大值,
則球心O在過PM中點(diǎn)O′與面MNP垂直的直線上,
設(shè)QO′=h.
在Rt△OO′P中,OP2=OO′2+O′P2,
∴R2=(h﹣R)2,即,得h=5,
∴四面體MNPQ體積的最大值為.
故選:A.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知四面體的棱長(zhǎng)滿足,,現(xiàn)將四面體放入一個(gè)主視圖為等邊三角形的圓錐中,使得四面體可以在圓錐中任意轉(zhuǎn)動(dòng),則圓錐側(cè)面積的最小值為___________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,
(1)當(dāng)時(shí),判斷函數(shù)的單調(diào)性;
(2)當(dāng)時(shí),記的兩個(gè)極值點(diǎn)為,若不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,直線l:,以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線.
(Ⅰ)求曲線C被直線l截得的弦長(zhǎng);
(Ⅱ)與直線l垂直的直線EF與曲線C相切于點(diǎn)Q,求點(diǎn)Q的直角坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(Ⅰ)若函數(shù)是R上的增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(Ⅱ)討論函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),已知函數(shù)在x=1處的切線方程為.
(1)求a的值;
(2)求證:當(dāng)時(shí),.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),,.
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)設(shè),證明:,當(dāng)時(shí),函數(shù)恒有兩個(gè)不同零點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在三棱柱中, , , 為的中點(diǎn).
(1)證明: 平面;
(2)若,點(diǎn)在平面的射影在上,且側(cè)面的面積為,求三棱錐的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,是圓的直徑,點(diǎn)是圓上異于的點(diǎn),直線平面,分別是的中點(diǎn).
(1)記平面與平面的交線為,試判斷直線與平面的位置關(guān)系,并加以證明;
(2)設(shè)(1)中的直線與圓的另一個(gè)交點(diǎn)為,且點(diǎn)滿足.記直線與平面所成的角為,異面直線與所成的角為,二面角的大小為,求證:.
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