如圖，已知離心率為
3
2
的橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）過(guò)點(diǎn)M（2，1），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，平行于OM的直線l交橢圓C于不同的兩點(diǎn)A、B．
（1）求橢圓C的方程．
（2）證明：直線MA、MB與x軸圍成一個(gè)等腰三角形．
分析：（Ⅰ）先由橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
3
2
和橢圓過(guò)點(diǎn)M（2，1），列出方程組，再由方程組求出a，b，由此能求出橢圓方程．
（Ⅱ）由直線l∥OM，設(shè)l：y=
1
2
x+m，將式子代入橢圓C得：x2+2mx+2m2-4=0，設(shè)直線MA、MB的斜率分別為k1，k2，欲證明直線MA、MB與x軸圍成一個(gè)等腰三角形．只需證明：k1+k2=0即可．
解答：（Ⅰ）解：設(shè)橢圓C的方程為：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），
由題意得：
c
a
=
3
2
4
a2
+
1
b2
=1
a2=b2+c2
，
解得a2=8，b2=2，
∴橢圓方程為
x2
8
+
y2
2
=1．
（Ⅱ）證明：由直線l∥OM，設(shè)l：y=
1
2
x+m，
將式子代入橢圓C得：x2+2mx+2m2-4=0，
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=-2m，x1x2=2m2-4，
設(shè)直線MA、MB的斜率分別為k1，k2，
則k1=
y1-1
x1-2
，k2=
y2-1
x2-2
，
∵k1+k2=
1
2
x1+m-1
x1-2
+
1
2
x2+m-1
x2-2

=1+m•
x1+x2-4
x1x2-2(x1+x2)+4

=1+m•
-2m-4
2m2-4-2(-2m)+4
=0，
故直線MA、MB與x軸圍成一個(gè)等腰三角形．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查三角形是等腰三角形的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意直線與橢圓的位置關(guān)系的靈活運(yùn)用．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，如圖，已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右頂點(diǎn)分別為A1、A2，上、下頂點(diǎn)分別為B1、B2．設(shè)直線A1B1的傾斜角的正弦值為
1
3
，圓C與以線段OA2為直徑的圓關(guān)于直線A1B1對(duì)稱．
精英家教網(wǎng)
（1）求橢圓E的離心率；
（2）判斷直線A1B1與圓C的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（3）若圓C的面積為π，求圓C的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知雙曲線E：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為
F1（-c，0）、F2（c，0），點(diǎn)A（c，b），B（0，b），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OA與直線F2B的交點(diǎn)在雙曲線E上．
（1）求雙曲線E的離心率；
（2）設(shè)直線F1A與雙曲線E 交于M、N兩點(diǎn)，
F1M
=λ
MA
，
F1N
=μ
NA
，若λ+μ=4，求雙曲線E的方程．
（3）在（2）的條件下，過(guò)點(diǎn)B的直線與雙曲線E相交于不同的兩點(diǎn)P、Q，求
BP
•
BQ
的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知中心在原點(diǎn)O、焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C的離心率為
3
2
，點(diǎn)A、B分別是橢圓C的長(zhǎng)軸、短軸的端點(diǎn)，點(diǎn)O到直線AB的距離為
6
5
5
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知點(diǎn)E（3，0），設(shè)點(diǎn)P、Q是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足EP⊥EQ，求
EP
•
QP
的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知離心率為
3
2
的橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上的點(diǎn)到左焦點(diǎn)F的最長(zhǎng)距離為
3
+2．
（1）求橢圓的方程；
（2）如圖，過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F任作一條與兩坐標(biāo)軸都不垂直的弦AB，若點(diǎn)M在x軸上，且使得MF為△AMB的一條內(nèi)角平分線，則稱點(diǎn)M為該橢圓的“左特征點(diǎn)”，求橢圓的“左特征點(diǎn)”M的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，已知AB=2c（常數(shù)c＞0），以AB為直徑的圓有一內(nèi)接梯形ABCD，且AB∥CD，若橢圓以A，B為焦點(diǎn)，且過(guò)C，D兩點(diǎn)，則當(dāng)梯形ABCD的周長(zhǎng)最大時(shí)，橢圓的離心率為
3
-1
3
-1
．

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