【題目】設(shè)為的三邊,求證:方程與有公共根的充要條件是.
【答案】證明見解析
【解析】
證充分性,即需解出公共根;證必要性,則先設(shè)公共根,解得a2=b2+c2.
充分性:∵∠A=90°,
∴a2=b2+c2.于是方程x2+2ax+b2=0可化為x2+2ax+a2-c2=0,
∴x2+2ax+(a+c)(a-c)=0.∴[x+(a+c)][x+(a-c)]=0.
∴該方程有兩根x1=-(a+c),x2=-(a-c),
同樣另一方程x2+2cx-b2=0也可化為x2+2cx-(a2-c2)=0,即[x+(c+a)][x+(c-a)]=0,∴該方程有兩根x3=-(a+c),x4=-(c-a).
可以發(fā)現(xiàn),x1=x3,
∴方程有公共根.
必要性:設(shè)x是方程的公共根,則
由①+②,得x=-(a+c),x=0(舍去).代入①并整理,可得a2=b2+c2.∴∠A=90°.
綜上,方程x2+2ax+b2=0與x2+2cx-b2=0有公共根的充要條件是∠A=90°
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知的三個頂點,,,其外接圓為.對于線段上的任意一點,
若在以為圓心的圓上都存在不同的兩點,使得點是線段的中點,則的半徑的取值范圍__________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為 (為參數(shù))。在以坐標原點為極點,軸正半軸為極軸的極坐標系中,曲線。
(1)寫出曲線,的普通方程;
(2)過曲線的左焦點且傾斜角為的直線交曲線于兩點,求。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】極坐標與參數(shù)方程
已知曲線:(為參數(shù)),:(為參數(shù)).
(1)將、的方程化為普通方程;
(2)若與交于M、N,與x軸交于P,求的最小值及相應(yīng)的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),有如下性質(zhì):如果常數(shù),那么該函數(shù)在上是減函數(shù),在上是增函數(shù).
(1)已知,,利用上述性質(zhì),求的單調(diào)區(qū)間和值域;
(2)對于(1)中的函數(shù)和函數(shù),若對任意的,總存在使得成立,求實數(shù)的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某電視臺為宣傳本市,隨機對本市內(nèi)歲的人群抽取了人,回答問題“本市內(nèi)著名旅游景點有哪些” ,統(tǒng)計結(jié)果如圖表所示.
組號 | 分組 | 回答正確的人數(shù) | 回答正確的人數(shù)占本組的頻率 |
第1組 | [15,25) | a | 0.5 |
第2組 | [25,35) | 18 | x |
第3組 | [35,45) | b | 0.9 |
第4組 | [45,55) | 9 | 0.36 |
第5組 | [55,65] | 3 | y |
(1)分別求出的值;
(2)根據(jù)頻率分布直方圖估計這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)(保留小數(shù)點后兩位)和平均數(shù);
(3)若第1組回答正確的人員中,有2名女性,其余為男性,現(xiàn)從中隨機抽取2人,求至少抽中1名女性的概率.
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