Question

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各條棱長(zhǎng)都相等，且CC₁⊥底面ABC，則異面直線(xiàn)BC₁與AC所成角的余弦值為

2

4

．

Answer 1

分析：連接A₁B，設(shè)該三棱柱的棱長(zhǎng)為1，根據(jù)棱柱的性質(zhì)可證出∠A₁C₁B（或其補(bǔ)角）就是異面直線(xiàn)BC₁與AC所成的角．因?yàn)镃C₁⊥底面ABC，所以四邊形B₁C₁CB和四邊形B₁A₁AB都是邊長(zhǎng)為1的正方形，可得A₁B=BC₁=

2

，最后在△A₁C₁B中運(yùn)用由余弦定理即可算出BC₁與AC所成角的余弦值．

解答：解：連接A₁B，設(shè)該三棱柱的棱長(zhǎng)為1，
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC∥A₁C₁
∴∠A₁C₁B（或其補(bǔ)角）就是異面直線(xiàn)BC₁與AC所成的角
∵CC₁⊥底面ABC，
∴三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，可得四邊形B₁C₁CB是矩形
∵BC=CC₁=1，∴BC₁=

2

，同理可得A₁B=

2

△A₁C₁B中，由余弦定理得：cos∠A₁C₁B=

1+2-2

2×1× 2

=

2

4

即異面直線(xiàn)BC₁與AC所成角的余弦值為

2

4

故答案為：

2

4

點(diǎn)評(píng)：本題在所有棱長(zhǎng)都相等的正三棱柱中，求底面一邊與面對(duì)角線(xiàn)所在直線(xiàn)所成角余弦，著重考查了直棱柱的性質(zhì)和異面直線(xiàn)所成的角的求法等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．