Question

已知圓C過點(diǎn)P（1，1），且與圓（x+3）²+（y+3）²=r²（r＞0）關(guān)于直線x+y+3=0對(duì)稱．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)P作兩條直線分別與圓C相交于點(diǎn)A、B，且直線PA和直線PB的傾斜角互補(bǔ)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，判斷直線OP與AB是否平行，并請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1） 設(shè)出對(duì)稱圓的方程，根據(jù)點(diǎn)和它關(guān)于直線（對(duì)稱軸）的對(duì)稱點(diǎn)與軸垂直且中點(diǎn)在軸上，求出圓心坐標(biāo)，再把
圓經(jīng)過的點(diǎn)的坐標(biāo)代入，可求半徑，從而得到圓C的方程．
（2）把PA所在的直線方程代入圓的方程，求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，同理求的B的坐標(biāo)，據(jù)斜率公式求得AB斜率，將它和
直線OP的斜率作對(duì)比，斜率相同，且兩直線不重合，則得直線OP與AB平行．

解答：解：（1）依題意，可設(shè)圓C的方程為（x-a）²+（y-b）²=r²，且a、b滿足方程組

a-3 2 + b-3 2 +3=0 b+3 a+3 ×(-1)=-1.

，
由此解得a=b=0．又因?yàn)辄c(diǎn)P（1，1）在圓C上，所以，r²=（1-a）²+（1-b）²=（1+0）²+（1+0）²=2．
故圓C的方程為x²+y²=2．
（2）由題意可知，直線PA和直線PB的斜率存在且互為相反數(shù)，
故可設(shè)PA所在的直線方程為y-1=k（x-1），PB所在的直線方程為y-1=-k（x-1）．
由

y-1=k(x-1) x2+y2=2

消去y，并整理得：（k²+1）x²+2k（1-k）x+（1-k）²-2=0．①
設(shè)A（x₁，y₁），又已知P（1，1），則x₁、1為方程①的兩相異實(shí)數(shù)根，由根與系數(shù)的關(guān)系得
 x1=

k2-2k-1

k2+1

．同理，若設(shè)點(diǎn)B（x₂，y₂），則可得x2=

k2+2k-1

k2+1

．
于是kAB=

y1-y2

x1-x2

=

k(x1-1)+k(x2-1)

x1-x2

=

k(x1+x2)-2k

x1-x2

=1．
而直線OP的斜率也是1，且兩直線不重合，因此，直線OP與AB平行．

點(diǎn)評(píng)：本題考查求一個(gè)圓關(guān)于直線的對(duì)稱圓的方程的方法，直線和圓相交的性質(zhì)，判斷兩直線平行的方法，注意當(dāng)兩直線斜率相等時(shí)，要檢驗(yàn)在縱軸上的截距不相等，才能判斷這兩直線平行．