如圖，四棱錐F－ABCD的底面ABCD是菱形，其對角線AC=2，BD=，AE、CF都與平面ABCD垂直，AE=1，CF=2.

（I）求二面角B－AF－D的大��；

（II）求四棱錐E－ABCD與四棱錐F－ABCD公共部分的體積.

 

【答案】

（1）

（2）

【解析】

試題分析：解：（I）（綜合法）連接AC、BD交于菱形的中心O，過O作OGAF，

G為垂足。連接BG、DG。由BDAC，BDCF得BD平面ACF，故BDAF。

于是AF平面BGD，所以BGAF，DGAF，BGD為二面角B－AF－D 的平面角。

由， ，得，

由，得

（向量法）以A為坐標原點，、、方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標系（如圖）

設平面ABF的法向量，則由得

令，得，

同理，可求得平面ADF的法向量。

由知，平面ABF與平面ADF垂直，

二面角B-AF-D的大小等于。

（II）連EB、EC、ED，設直線AF與直線CE相交于點H，則四棱錐E-ABCD與四棱錐F-ABCD的公共部分為四棱錐H-ABCD。

過H作HP⊥平面ABCD，P為垂足。

因為EA⊥平面ABCD，F(xiàn)C⊥平面ABCD，，所以平面ACFE⊥平面ABCD，從而

由得。

又因為

故四棱錐H-ABCD的體積

考點：二面角以及體積

點評：主要是考查了二面角的平面角以及體積的計算。屬于基礎題。

 

練習冊系列答案
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如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，E，F(xiàn)分別是AB，PD的中點．若PA=AD=3，CD=
6
．
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（2）求證：平面PDF⊥平面PAB；
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26
13
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2
2
，DC=
2
，AD=1，AD⊥AB，頂點P在底面ABCD的射影落在線段AC上，F(xiàn)是PC的中點．
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（Ⅱ）求證：平面PAC⊥平面PDB；
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