Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn) (1，0)，直線: ，點(diǎn)在直線上移動(dòng)， 是線段與軸的交點(diǎn), 異于點(diǎn)R的點(diǎn)Q滿足： ， .

（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；

（2） 記的軌跡的方程為，過點(diǎn)作兩條互相垂直的曲線

的弦. ，設(shè). 的中點(diǎn)分別為．

問直線是否經(jīng)過某個(gè)定點(diǎn)？如果是，求出該定點(diǎn)，

如果不是，說明理由．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)以直線恒過定點(diǎn) ．

【解析】試題分析: （1）由已知條件知，點(diǎn)R是線段FP的中點(diǎn)，RQ是線段FP的垂直平分線，點(diǎn)Q的軌跡E是以F為焦點(diǎn)，l為準(zhǔn)線的拋物線，寫出拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）設(shè)出直線AB的方程，把A、B坐標(biāo)代入拋物線方程，再利用中點(diǎn)公式求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，同理可得N的坐標(biāo)，求出直線MN的斜率，得到直線MN的方程并化簡，可看出直線MN過定點(diǎn)．

試題解析：(Ⅰ)依題意知，直線的方程為： ．點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，

且⊥，∴是線段的垂直平分線．

∴是點(diǎn)到直線的距離．

∵點(diǎn)在線段的垂直平分線，∴．

故動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)， 為準(zhǔn)線的拋物線，

其方程為： ．

(Ⅱ) 設(shè)， ，

由AB⊥CD，且AB、CD與拋物線均有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，故直線AB、CD斜率均存在，設(shè)直線AB的方程為

則

（1）—（2）得，即，

代入方程，解得．所以點(diǎn)Ｍ的坐標(biāo)為．

同理可得： 的坐標(biāo)為．

直線的斜率為，方程為

，整理得，

顯然，不論為何值， 均滿足方程，所以直線恒過定點(diǎn) ．