Question

（01全國卷理） (12分)

    從社會效益和經(jīng)濟(jì)效益出發(fā)，某地投入資金進(jìn)行生態(tài)環(huán)境建設(shè)，并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè)．根據(jù)規(guī)劃，本年度投入800萬元，以后每年投入將比上年減少．本年度當(dāng)?shù)芈糜螛I(yè)收入估計為400萬元，由于該項建設(shè)對旅游業(yè)的促進(jìn)作用，預(yù)計今后的旅游業(yè)收入每年會比上年增加．

    (Ⅰ)設(shè)n年內(nèi)(本年度為第一年)總投入為a_n萬元，旅游業(yè)總收入為b_n萬元．寫出a_n，b_n的表達(dá)式；

(Ⅱ)至少經(jīng)過幾年旅游業(yè)的總收入才能超過總投入？

Answer 1

解析：：（Ⅰ）第1年投入為800萬元，第2年投入為800×（1－）萬元，……，第n年投入為800×（1－）^n－1萬元．

所以，n年內(nèi)的總投入為

a_n = 800＋800×（1－）＋…＋800×（1－）^n－1

                                                                 

                                                                  = 4000×[1－()ⁿ]；                                ……3分

第1年旅游業(yè)收入為400萬元，第2年旅游業(yè)收入為400×（1＋）萬元，……，第n年旅游業(yè)收入為400×（1＋）^n－1萬元．

所以，n年內(nèi)的旅游業(yè)總收入為

b_n = 400＋400×（1＋）＋…＋400×（1＋）^n－1

                                                                 

                                                                  = 1600×[ ()ⁿ－1]．                               ……6分

（Ⅱ）設(shè)至少經(jīng)過n年旅游業(yè)的總收入才能超過總投入，由此

b_n－a_n＞0，

即 1600×[（）ⁿ －1]－4000×[1－（）ⁿ]＞0．

化簡得 5×（）ⁿ＋2×（）ⁿ －7＞0，                            ……9分

設(shè)（）ⁿ，代入上式得

5x²－7x＋2＞0，

解此不等式，得

，x＞1(舍去)．

即                           （）ⁿ＜，

由此得                         n≥5．

答：至少經(jīng)過5年旅游業(yè)的總收入才能超過總投入．                   ……12分