Question

如圖，兩個工廠A，B相距2km，點O為AB的中點，現(xiàn)要在以O(shè)為圓心，2km為半徑的圓弧MN上的某一點P處建一幢辦公樓，其中MA⊥AB，NB⊥AB．據(jù)測算此辦公樓受工廠A的“噪音影響度”與距離AP的平方成反比，比例系數(shù)是1，辦公樓受工廠B的“噪音影響度”與距離BP的平方也成反比，比例系數(shù)是4，辦公樓受A，B兩廠的“總噪音影響度”y是受A，B兩廠“噪音影響度”的和，設(shè)AP為xkm．
（Ⅰ）求“總噪音影響度”y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系，并求出該函數(shù)的定義域；
（Ⅱ）當(dāng)AP為多少時，“總噪音影響度”最�。�

Answer 1

解：（Ⅰ）連接OP，設(shè)∠AOP=α，則；
在△AOP中，由余弦定理得x²=1²+2²-2×1×2cosα=5-4cosα，
在△BOP中，由余弦定理得BP²=1²+2²-2×1×2cos（π-α）=5+4cosα，
∴BP²=10-x²．則；
∵，則，∴3≤5-4cosα≤7，
∴；
所以，．
（Ⅱ）令t=x²，；
∴；
由y'=0，得，或t=-10（舍去），
當(dāng)，函數(shù)在上單調(diào)遞減；
當(dāng)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；
∴當(dāng)時，即時，函數(shù)有最小值，
也即當(dāng)AP為km時，“總噪音影響度”最�。�
分析：（Ⅰ）連接OP，設(shè)∠AOP=α，在△AOP中，由余弦定理得x²，在△BOP中，由余弦定理得BP²，從而得BP與x的關(guān)系，所以，“總噪音影響度”；定義域由∠α的取值得出x的取值范圍即可．
（Ⅱ）用換元法，令t=x²，則；對y求導(dǎo)，令y'=0，得時，函數(shù)有最小值，
即AP=（km）時，“總噪音影響度”最小即可．
點評：本題考查了余弦定理的應(yīng)用和導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)最值問題中的應(yīng)用；用求導(dǎo)法求函數(shù)最值時，要先求導(dǎo)，再令導(dǎo)數(shù)等于0，并判斷導(dǎo)數(shù)等于0的點是否為最值點．