Question

20．如圖，平面ABCD⊥平面ADEF，四邊形ABCD為菱形，四邊形ADEF為矩形，M、N分別是EF、BC的中點，AB=2AF，∠CBA=60°．
（1）求證：DM⊥平面MNA；
（2）若三棱錐A-DMN的體積為$\frac{\sqrt{3}}{3}$，求點A到平面DMN的距離．

Answer 1

分析 （1）證明AN⊥DM，DM⊥AM，利用線面垂直的判定定理證明：DM⊥平面MNA；
（2）利用等體積，求出點M到平面ADN的距離，作AH⊥MN交MN于點H，AH為求點A到平面DMN的距離，利用等面積求點A到平面DMN的距離．

解答 證明：（1）連接AC，在菱形ABCD中，
∵∠CBA=60°且AB=AC，
∴△ABC為等邊三角形．
∵N是BC的中點，
∴AN⊥BC，AN⊥BC．
∵ABCD⊥平面ADEF，AN?平面ADEF，ABCD∩平面ADEF=AD，
∴AN⊥平面ABEF．
∵DM?平面ADEF，
∴AN⊥DM．
∵矩形ADEF中，AD=2AF，M是的中點，
∴△AMF為等腰直角三角形，
∴∠AMF=45°，
同理可證∠DME=45°，
∴∠DAM=90°，
∴DM⊥AM．
∵AM∩AN=N，AM?平面MNA，AN?平面MNA，
∴DM⊥平面MNA．
解：（2）設AF=x，則AB=2AF=2x，
在Rt△ABN中，AB=2x，BN=x，∠ABN=60°，
∴$AN=\sqrt{3}x$．

∴${S_{△ADN}}=\frac{1}{2}•2x•\sqrt{3}x=\sqrt{3}{x^2}$．
∵ABCD⊥平面ADEF，F(xiàn)A⊥AD，ABCD∩平面ADEF=AD，
∴FA⊥平面ABCD．
設h為點M到平面ADN的距離，則h=FA=x．
∴${V_{M-ADN}}=\frac{1}{3}{V_{△CDF}}•h=\frac{1}{3}•\sqrt{3}{x^2}•x=\frac{{\sqrt{3}}}{3}{x^3}$，
∵${V_{M-ADN}}={V_{D-AMN}}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
∴x=1．
作AH⊥MN交MN于點H．
∵DM⊥平面MNA，
∴DM⊥AH．
∴AH⊥平面DMN，
即AH為求點A到平面DMN的距離，
∵在Rt△MNA中，$MA=\sqrt{2}$，$AN=\sqrt{3}$，
∴$AH=\frac{{\sqrt{30}}}{5}$．
∴點A到平面DMN的距離為$\frac{{\sqrt{30}}}{5}$．

點評 本題主要考查了直線與平面垂直的判定與性質(zhì)，以及著重考查了棱錐的體積公式，考查空間想象能力、運算能力．