Question

13．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，點M、N、E分別為A₁B、B₁C₁、A₁B₁上的中點．
（Ⅰ）求證：平面MNE∥平面ACC₁A₁；
（Ⅱ）若AB=AC=AA₁=2，求證：平面BMC⊥平面AMC．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知結(jié)合三角形的中位線定理可得EN∥A₁C₁，進一步得EN∥平面ACC₁A₁．同理得EM∥平面ACC₁A₁ ．再由面面平行的判定得答案；
（Ⅱ）由已知直三棱柱及AB⊥AC，可得AC⊥BM，再由AB=AA₁，結(jié)合點M為A₁B的中點得BM⊥AM，由線面垂直的判定得BM⊥面AMC，從而可得平面BMC⊥平面AMC．

解答 證明：（Ⅰ）∵N、E分別為B₁C₁、A₁B₁上的中點，∴EN∥A₁C₁，則EN∥平面ACC₁A₁．
同理EM∥BB₁，又∵ABC-A₁B₁C₁為直三棱柱，
∴AA₁∥BB₁，則EM∥AA₁，得EM∥平面ACC₁A₁ ．
又EN∩EM=E，∴面MNE∥面ACC₁A₁；
（Ⅱ）∵ABC-A₁B₁C₁為直三棱柱，∴AA₁⊥面ABC，
AC?面ABC，∴AA₁⊥AC，
又∵AB⊥AC，AA₁∩AB=A，∴AC⊥面AB₁，BM?面AB₁，AC⊥BM，
又∵點M為A₁B的中點，∴BM⊥AM，而AC∩AM=A，
∴BM⊥面AMC，又BM?面BMC
∴平面BMC⊥平面AMC．

點評 本題考查面面平行與面面垂直的判定，考查空間想象能力和思維能力，是中檔題．