Question

已知函數(shù)f(x)=log2

x+4

x-4

（1）求f（x）的定義域；
（2）判斷f（x）的奇偶性；
（3）討論f（x）的單調(diào)性，并證明．

Answer 1

分析：（1）由題，可令

x+4

x-4

＞0，解出函數(shù)的定義域．
（2）由f（-x）=log

( x+4 x-4 )-1 2

=-f（x），依據(jù)奇函數(shù)定義得出函數(shù)的奇偶性．
（3）再由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法判斷出單調(diào)性即可．

解答：解：（1）由題意，令

x+4

x-4

＞0，解得4＜x或x＜-4，故函數(shù)的定義域為（-∞，-4）∪（4，+∞）
（2）由于f（-x）=log

( x+4 x-4 )-1 2

=-f（x），∴函數(shù)是奇函數(shù)．
（3）當x∈（-∞，-4）∪（4，+∞）時f(x)=log2

x+4

x-4

可知

x+4

x-4

=1+

8

x-4

．
因為y=x-4是增函數(shù)
y=

8

x-4

是減函數(shù)
y=

x+4

x-4

是減函數(shù)
f(x)=log2

x+4

x-4

是減函數(shù)
綜上，函數(shù)的定義域為（-∞，-4）∪（4，+∞），此函數(shù)是一個奇函數(shù)，也是減函數(shù)．

點評：本題考點是對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，考察了對數(shù)函數(shù)定義域的求法，對數(shù)的運算性質(zhì)，函數(shù)奇偶性的判斷，復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷規(guī)則，解題的關(guān)鍵是熟練掌握對數(shù)的性質(zhì)、復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷規(guī)則，本題考察了推理判斷的能力．