Question

已知函數(shù)g(x)=

4x-n

2x

是奇函數(shù)，f(x)=log4(4x+1)+mx是偶函數(shù)．
（1）求m+n的值；
（2）設(shè)h(x)=f(x)+

1

2

x，若g（x）＞h[log₄（2a+1）]對任意x≥1恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由g（x）為定義在R上的奇函數(shù)，得g（0）=0，解得n=1；再根據(jù)偶函數(shù)滿足f（-x）=f（x），比較系數(shù)可得m=-

1

2

，由此即可得到m+n的值．
（2）由（1）得h（x）=log₄（4^x+1），易得h[log₄（2a+1）]=log₄（2a+2）．而定義在R上的增函數(shù)g（x）在x≥1時的最小值為g（1）=

3

2

，從而不等式轉(zhuǎn)化成

3

2

＞log₄（2a+2），由此再結(jié)合真數(shù)必須大于0，不難解出實數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）由于g（x）為奇函數(shù)，且定義域為R，
∴g（0）=0，即

40-n

20

=0⇒n=1，…（3分）
∵f(x)=log4(4x+1)+mx，
∴f(-x)=log4(4-x+1)-mx=log4(4x+1)-(m+1)x，
∵f（x）是偶函數(shù)，
∴f（-x）=f（x），得mx=-（m+1）x恒成立，故m=-

1

2

，
綜上所述，可得m+n=

1

2

；…（4分）
（2）∵h(x)=f(x)+

1

2

x=log4(4x+1)，
∴h[log₄（2a+1）]=log₄（2a+2），…（2分）
又∵g(x)=

4x-1

2x

=2x-2-x在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)，
∴當(dāng)x≥1時，g(x)min=g(1)=

3

2

…（3分）
由題意，得

2a+2＜4 3 2 2a+1＞0 2a+2＞0

?-

1

2

＜a＜3，
因此，實數(shù)a的取值范圍是：{a|-

1

2

＜a＜3}．…（3分）

點評：本題給出含有指數(shù)和對數(shù)形式的函數(shù)，在已知奇偶性的情況下求參數(shù)m、n的值，并討論不等式恒成立的問題，著重考查了對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用、函數(shù)的奇偶性和不等式恒成立等知識點，屬于中檔題．