Question

已知A（4，2），在焦點F的拋物線y²=4x上求一點M，使|MA|+|MF|為最小，并加以證明．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)拋物線方程及A點坐標可以推知A點在拋物線內(nèi)，把拋物線上的點到焦點的距離轉(zhuǎn)化為到拋物線的準線的距離，結(jié)合圖象，易得過點A且與準線L垂直的直線與拋物線的交點即為所求．
解答：證明：設P是拋物線上任意一點，L是拋物線的準線，過P作PP₁ ⊥L，垂足為P₁，過A作AA₁⊥L，垂足為A₁，且交拋物線于點M，
∴|PA|+|PF|=|PA|+|PP₁|≥|AA₁|=|MA|+|MA₁|=|MF|+|MA|，
即M點為所求．
把y=2代入y²=4x中，解得x=1，故M（1，2）．
點評：本題主要考查了拋物線的定義，充分利用了拋物線上的點到準線的距離與點到焦點的距離相等這一特性，運用了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想．