Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= （a＞0）的導函數(shù)y=f′（x）的兩個零點為0和3．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）的極大值為 ，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，5]上的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=

令g（x）=﹣ax2+（2a﹣b）x+b﹣c

函數(shù)y=f′（x）的零點即g（x）=﹣ax2+（2a﹣b）x+b﹣c的零點

即：﹣ax2+（2a﹣b）x+b﹣c=0的兩根為0，3

則 解得：b=c=﹣a，

令f′（x）＞0得0＜x＜3

所以函數(shù)的f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，3）

（2）解：由（1）得：

函數(shù)在區(qū)間（0，3）單調(diào)遞增，在（3，+∞）單調(diào)遞減，

∴ ，

∴a=2，

∴ ； ，

∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，4]上的最小值為﹣2

【解析】（1）先求導，在根據(jù)函數(shù)的零點得到：﹣ax2+（2a﹣b）x+b﹣c=0的兩根為0，3，根據(jù)韋達定理即可求出a，b，c的關系，根據(jù)導數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關系即可求出單調(diào)增區(qū)間，（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求出函數(shù)在閉區(qū)間上的最小值．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用函數(shù)單調(diào)性的判斷方法和函數(shù)的最值及其幾何意義的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握單調(diào)性的判定法：①設x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較；利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最大（�。┲担焕�用圖象求函數(shù)的最大（�。┲�；利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大（�。┲担�