Question

已知函數(shù)y=f（x）（x∈D），方程f（x）=x的根x₀稱為函數(shù)f（x）的不動點；若a₁∈D，a_n+1=f（a_n）（n∈N^*），則稱{a_n} 為由函數(shù)f（x）導(dǎo)出的數(shù)列．
設(shè)函數(shù)g（x）=，h（x）=
（1）求函數(shù)g（x）的不動點x₁，x₂；
（2）設(shè)a₁=3，{a_n} 是由函數(shù)g（x）導(dǎo)出的數(shù)列，對（1）中的兩個不動點x₁，x₂（不妨設(shè)x₁＜x₂），數(shù)列求證是等比數(shù)列，并求；
（3）試探究由函數(shù)h（x）導(dǎo)出的數(shù)列{b_n}，（其中b₁=p）為周期數(shù)列的充要條件．
注：已知數(shù)列{b_n}，若存在正整數(shù)T，對一切n∈N^*都有b_n+T=b_n，則稱數(shù)列{b_n} 為周期數(shù)列，T是它的一個周期．

Answer 1

解：（1）=x，即x²-x-2=0，得x₁=-1，x₂=2，
所以函數(shù)g（x）的不動點為x₁=-1，x₂=2．
（2）：a₁=3，a_n+1=g（a_n）=，設(shè)c_n=，
則c_n+1====c_n，c₁==4．
所以數(shù)列{}是等比數(shù)列，公比為，首項為4．
=4•得a_n=．
===2．
（3）：h（x）==x，即cx²+（d-a）x-b=0．
因為△=（d-a）²+4ac＞0，所以該方程有兩個不相等的實數(shù)根x₁，x₂．
b₁=p，b_n+1=h（b_n）=，
==•，
則{}是等比數(shù)列，首項為，公比為．
因為=（）^n-1，所以=（）^n+T-1．
數(shù)列{b_n}為周期數(shù)列的充要條件是（）^n-1=（）^n+T-1，即（）^T=1．
故||=1，但x₁≠x₂，從而cx₂+d=-cx₁-d．x₁+x₂=-=-，
故d=-a．
分析：（1）直接解方程=x，求出對應(yīng)的自變量的值即可；
（2）直接把上面的結(jié)論代入并設(shè)，求出c_n+1的表達式即可證明求證是等比數(shù)列；進而求出{a_n} 的通項公式，即可求；
（3）先利用h（x）==x，得方程有兩個不相等的實數(shù)根x₁，x₂；再求出{}是等比數(shù)列，首項為，公比為；即可找到由函數(shù)h（x）導(dǎo)出的數(shù)列{b_n}（其中b₁=p）為周期數(shù)列的充要條件．
點評：本題主要考查數(shù)列知識和函數(shù)知識，屬于難題．基礎(chǔ)較弱的學生建議只做第一，第二問．