Question

【題目】實(shí)數(shù)a、b、c、d滿足a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd＞1，求證a、b、c、d中至少有一個(gè)是負(fù)數(shù).

Answer 1

【答案】證明：假設(shè)a、b、c、d都是非負(fù)數(shù)，
即a≥0，b≥0，c≥0，d≥0，
則1＝(a＋b)(c＋d)＝(ac＋bd)＋(ad＋bd)≥ac＋bd ，
這與已知中ac＋bd＞1矛盾，
∴原假設(shè)錯(cuò)誤，
∴a、b、c、d中至少有一個(gè)是負(fù)數(shù).
【解析】本題主要考查了反證法與放縮法，解決問(wèn)題的關(guān)鍵 “至多”、“至少”型命題的證明方法.解答本題應(yīng)假設(shè)a、b、c、d都是非負(fù)數(shù)，然后證明并得出矛盾. (1)在證明中含有“至少”、“至多”、“最多”等字眼時(shí)，或證明否定性命題、惟一性命題時(shí)，可使用反證法證明.在證明中常見的矛盾可以與題設(shè)矛盾，也可以與已知矛盾，與顯然的事實(shí)矛盾，也可以自相矛盾.(2)在用反證法證明的過(guò)程中，由于作出了與結(jié)論相反的假設(shè)，相當(dāng)于增加了題設(shè)條件，因此在證明過(guò)程中必須使用這個(gè)增加的條件，否則將無(wú)法推出矛盾.
【考點(diǎn)精析】利用反證法與放縮法對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知常見不等式的放縮方法：①舍去或加上一些項(xiàng)②將分子或分母放大（縮小)．