Question

已知函數(shù)f（x）=

a•3x x≤0 1 x -x x＞0

，若關(guān)于x的方程f[f（x）]=0有且僅有一解，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A、（-∞，0）
• B、（-∞，0）∪（0，1）
• C、（0，1）
• D、（0，1）∪（1，+∞）

Answer 1

考點：根的存在性及根的個數(shù)判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：分a=0、a＞0、a＜0三種情況討論．
利用換元法設(shè)t=f（x），則方程等價為f（t）=0，作出函數(shù)f（x）的圖象，利用數(shù)形結(jié)合即可得出．

解答： 解：（1）當a=0時，在x≤0的條件下，f（x）=0，此時方程f[f（x）]=0有無數(shù)解，不符合題意；
（2）當a＞0時，畫此分段函數(shù)的圖象：

設(shè)t=f（x），則f（t）=0，
c從圖象上看，f（t）=0有唯一解，t=1，則f（x）=1，
要使方程有唯一解，∴a＜1．
∴0＜a＜1
（3）當a＜0時，畫此分段函數(shù)的圖象：

設(shè)t=f（x），則f（t）=0，
c從圖象上看，f（t）=0有唯一解，t=1，則f（x）=1，
要使方程有唯一解，再從圖象上看不管a取何值，f（x）=1只有一解，
∴a＜0
綜上（1）（2）（3）：實數(shù)a的取值范圍是（-∞，0）∪（0，1），
故選：B

點評：本題主要考查函數(shù)方程根的個數(shù)的應用，利用換元法，結(jié)合數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．