Question

如圖，在四面體ABCD中，BC=AC，AD=BD，E是AB的中點．
（1）求證：AB⊥平面CDE；
（2）設(shè)G為△ADC的重心，F(xiàn)是線段AE上一點，且AF=2FE．求證：FG∥平面CDE．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）先證出直線AB與平面上的兩條相交直線垂直，可得到線面垂直；
（2）取DC的中點H，連AH、EH，根據(jù)G為△ADC的重心，得到G在AH上，且AG=2GH，連FG，則FG∥EH，再說明線在平面上，得到結(jié)論．

解答： 證明：（1）∵BC=AC，E為AB的中點，
∴AB⊥CE．
又∵AD=BD，E為AB的中點
∴AB⊥DE．
∵DE∩CE=E
∴AB⊥平面DCE；
（2）取DC的中點H，連AH、EH
∵G為△ADC的重心，
∴G在AH上，且AG=2GH，連FG，則FG∥EH
又∵FG?平面CDE，EH?平面CDE，
∴GF∥平面CDE．

點評：本題考查直線與平面垂直的判定，直線與平面平行，考查邏輯思維能力，空間想象能力，是中檔題．