正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為1,E、F、G分別為棱AA1、CC1、A1B1的中點,則下列幾個命題:
①在空間中與三條直線A1D1,EF,CD都相交的直線有無數(shù)條;
②點G到平面ABC1D1的距離為
③直線AA1與平面ABC1D1所成的角等于45°;
④空間四邊形ABCD1在正方體六個面內形成六個射影,其面積的最小值是
⑤直線A1C1與直線AG所成角的余弦值為;
⑥若一直線PQ既垂直于A1D,又垂直于AC,則直線PQ與BD1是垂直不相交的關系.
其中真命題是 .(寫出所有真命題的序號)
①③④⑤;解析:在EF上任意取一點M,直線與M確定一個平面,這個平面與CD有且僅有1個交點N, 當M取不同的位置就確定不同的平面,從而與CD有不同的交點N,而直線MN與這3條異面直線都有交點的.所以①正確;
易求得點G到平面ABC1D1的距離為,
所以②錯;根據(jù)線面角的定義知③正確;
空間四邊形ABCD1在正方體的面AA1D1D內形成的射影面積為是在正方體六個面內形成六個射影面積的最小值,所以④正確;
由于AC∥A1C1,因此,直線AC與直線AG所成角等于直線A1C1與直線AG所成的角,所以余弦值為,
所以⑤正確;
由線面垂直的性質定理易知直線PQ與BD1是平行的關系.所以⑥錯.
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