Question

已知?jiǎng)狱c(diǎn)P與平面上兩定點(diǎn)A（-1，0），B（1，0）連線的斜率的積為定值-2．
（1）試求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程C．
（2）設(shè)直線l：y=x+1與曲線C交于M、N兩點(diǎn)，求|MN|

Answer 1

分析：（1）設(shè)出點(diǎn)P（x，y），表示出兩線的斜率，利用其乘積為-2，建立方程化簡(jiǎn)即可得到點(diǎn)P的軌跡方程．
（2）將直線l：y=x+1代入曲線C方程x²+

y2

2

=1，整理得3x²+2x-1=0，可求得方程的根，進(jìn)而利用弦長(zhǎng)公式可求|MN|．

解答：解：（1）設(shè)P（x，y），則k_PA=

y-0

x+1

，k_PB=

y-0

x-1

∵動(dòng)點(diǎn)p與定點(diǎn)A（-1，0），B（1，0）的連線的斜率之積為-2，
∴k_PA×k_PB=-2
∴

y2

x2-1

=-2，即2x²+y²=2
又x=±1時(shí)，必有一個(gè)斜率不存在，故x≠±1
綜上點(diǎn)P的軌跡方程為x²+

y2

2

=1（x≠±1）
（2）將直線l：y=x+1代入曲線C方程x²+

y2

2

=1，整理得3x²+2x-1=0
∴x1=-1，x2=

1

3

∴|MN|=

2

|x1-x2| = 

4

3

2

點(diǎn)評(píng)：本題以斜率為載體，考查曲線方程的求解，關(guān)鍵是利用斜率公式，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查了弦長(zhǎng)公式的運(yùn)用．