【題目】橢圓的右焦點為,左頂點為,線段的中點為,圓過點,且與交于, 是等腰直角三角形,則圓的標準方程是____________
【答案】
【解析】
設(shè)A(﹣a,0),求得AF的中點B的坐標,可得圓F的半徑和方程,設(shè)D(m,n),(m>0,n>0),E(m,﹣n),由△BDE為等腰直角三角形,可得m,n的關(guān)系,將D的坐標代入圓的方程,解方程可得m=1,求出n,代入橢圓方程,解方程可得a=2,即可得到圓F的方程.
如圖設(shè)A(﹣a,0),可得a>1,c=1,b2=a2﹣1,
線段AF的中點為B(,0),
圓F的圓心為F(1,0),半徑r=|BF|,
設(shè)D(m,n),(m>0,n>0),E(m,﹣n),
由△BDE為等腰直角三角形,可得kBD=1,
即1,即n=m,
由D在圓F:(x﹣1)2+y2=()2上,
可得(m﹣1)2+(m)2=()2,
化簡可得(m﹣1)(2m﹣1+a)=0,
解得m=1或m(舍去),
則n,
將D(1,)代入橢圓方程,可得
1,
化簡可得a=2或(舍去),
則圓F的標準方程為(x﹣1)2+y2,
故答案為:(x﹣1)2+y2.
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【題目】給出下列結(jié)論:
①若為真命題,則、均為真命題;
②命題“若,則”的逆否命題是“若,則”;
③若命題,,則,;
④“”是“”的充分不必要條件.其中正確的結(jié)論有____.
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【題目】袋子中有四個小球,分別寫有“美、麗、中、國”四個字,有放回地從中任取一個小球,直到“中”“國”兩個字都取到就停止,用隨機模擬的方法估計恰好在第三次停止的概率.利用電腦隨機產(chǎn)生0到3之間取整數(shù)值的隨機數(shù),分別用0,1,2,3代表“中、國、美、麗”這四個字,以每三個隨機數(shù)為一組,表示取球三次的結(jié)果,經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了以下18組隨機數(shù):
232 321 230 023 123 021 132 220 001
231 130 133 231 031 320 122 103 233
由此可以估計,恰好第三次就停止的概率為
A. B. C. D.
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【題目】如圖,在四棱錐中,,,,且,.
(1)證明:平面;
(2)在線段上,是否存在一點,使得二面角的大小為?如果存在,求的值;如果不存在,請說明理由.
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【題目】部分與整體以某種相似的方式呈現(xiàn)稱為分形.謝爾賓斯基三角形是一種分形,由波蘭數(shù)學(xué)家謝爾賓斯基1915年提出.具體操作是取一個實心三角形,沿三角形的三邊中點連線,將它分成4個小三角形,去掉中間的那一個小三角形后,對其余3個小三角形重復(fù)上述過程逐次得到各個圖形,如圖.
現(xiàn)在上述圖(3)中隨機選取一個點,則此點取自陰影部分的概率為( )
A. B. C. D.
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【題目】定義:區(qū)間,,,的長度均為,若不等式的解集是互不相交區(qū)間的并集,設(shè)該不等式的解集中所有區(qū)間的長度之和為,則( )
A. 當時,B. 當時,
C. 當時,D. 當時,
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【題目】下列說法中所有正確的序號是_________
①兩直線的傾斜角相等,則斜率必相等;
②若動點到定點和定直線的距離相等,則動點的軌跡是拋物線;
③已知、是橢圓的兩個焦點,過點的直線與橢圓交于、兩點,則的周長為;
④曲線的參數(shù)方程為為參數(shù),則它表示雙曲線且漸近線方程為;
⑤已知正方形,則以、為焦點,且過、兩點的橢圓的離心率為.
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【題目】(1)已知P是矩形ABCD所在平面上的一點,則有.試證明該命題.
(2)將上述命題推廣到P為空間上任一點的情形,寫出這個推廣后的命題并加以證明.
(3)將矩形ABCD進一步推廣到長方體,并利用(2)得到的命題建立并證明一個新命題.
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【題目】如圖,圓錐的軸截面為等腰為底面圓周上一點。
(1)若的中點為,求證: 平面;
(2)如果,求此圓錐的體積;
(3)若二面角大小為,求.
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