Question

數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，2a_n=1+S_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{na_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知，令n=1可求a₁，利用n≥2時(shí)，a_n=s_n-s_n-1可得a_n=2a_n-1可證；
（Ⅱ）根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出求出a_n，再利用錯(cuò)位相減法即可求數(shù)列{na_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： 證明：（Ⅰ）當(dāng)n=1時(shí)，2a₁=1+S₁，解得a₁=1，
當(dāng)n≥2時(shí)，2a_n=1+S_n，2a_n-1=1+S_n-1，
兩式相減得2a_n-2a_n-1=a_n，即a_n=2a_n-1，
所以數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)、2為公比的等比數(shù)列；
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）得，a_n=2^n-1，則na_n=n•2^n-1，
所以T_n=1+2•2+3•2²+…+n•2^n-1 ①，
2T_n=2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ ②，
①-②得-T_n=1+2+2²+2³+…+2^n-1-n•2ⁿ
=

1-2n

1-2

-n•2ⁿ=（1-n）•2ⁿ-1，
所以T_n=（n-1）2ⁿ+1．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列中a_n與S_n關(guān)系式的應(yīng)用，定義法判斷數(shù)列是等比數(shù)列，以及利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，是常考的題型．