Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)分別為棱A₁B₁，A₁A的中點．
（Ⅰ）判定D，C₁，E，F(xiàn)是否在同一平面上？若在同一平面上，請加以證明，若不在同一平面上，請說明理由；
（Ⅱ）已知正方體的棱長為2，沿平面EFD₁截去三棱錐A₁-EFD₁；
（i）求余下幾何體的體積；
（ii）求余下幾何體的表面積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,棱柱、棱錐、棱臺的側面積和表面積,平面的基本性質及推論

專題：綜合題,空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）證明EF∥DC₁，可得D，C₁，E，F(xiàn)四點在同一個平面上；
（Ⅱ）（i）求出三棱錐A₁-EFD₁的體積，即可求余下幾何體的體積；
（ii）求出△D₁EF的面積，即可求余下幾何體的表面積．

解答： 解：（I）答：D，C₁，E，F(xiàn)四點在同一個平面上…（1分）
證明：連結AB₁，由E，F(xiàn)分別為棱A₁B₁，A₁A的中點，所以EF∥AB₁，
又由正方體知AB₁∥DC₁，
由平行公理得EF∥DC₁，因此，D，C₁，E，F(xiàn)四點在同一個平面上…（4分）
（II）（i）由三棱錐A₁-EFD₁的體積V1=

1

3

(

1

2

×1×1)×2=

1

3

…（6分）
所以，余下幾何體的體積V=V_正方體-V₁=23-

1

3

=

23

3

…（8分）
（ii）依題意可得D1F=D1E=

5

，在△D₁EF中，過D₁作D₁H垂直于EF，垂足為H，則D1H=

5- 1 2

=

3 2

2

，所以△D₁EF的面積S△D1EF=

1

2

×

2

×

3 2

2

=

3

2

…（10分）
余下幾何體的表面積S=.3×22+(3×22-1-1-

1

2

)+

3

2

=23…（12分）

點評：本題考查棱柱、棱錐、棱臺的側面積和表面積、體積，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．