Question

已知橢圓（a＞b＞0）和直線L：=1，橢圓的離心率，直線L與坐標原點的距離為．
（1）求橢圓的方程；
（2）已知定點E（-1，0），若直線y=kx+2（k≠0）與橢圓相交于C、D兩點，試判斷是否存在k值，使以CD為直徑的圓過定點E？若存在求出這個k值，若不存在說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用直線L：=1與坐標原點的距離為，橢圓的離心率，建立方程，求出橢圓的幾何量，即可求得橢圓的方程；
（2）直線y=kx+2代入橢圓方程，利用韋達定理及CD為圓心的圓過點E，利用數(shù)量積為0，即可求得結論．
解答：解：（1）∵直線L：=1與坐標原點的距離為，∴．①…（2分）
∵橢圓的離心率，∴．②…（4分）
由①得4a²b²=3a²+3b²，即4a²（a²-c²）=3a²+3（a²-c²）③
由②③得a²=3，c²=2
∴b²=a²-c²=1
∴所求橢圓的方程是+y²=1…（6分）
（2）直線y=kx+2代入橢圓方程，消去y可得：（1+3k²）x²+12kx+9=0
∴△=36k²-36＞0，∴k＞1或k＜-1…（8分）
設C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），則有x₁+x₂=，x₁x₂=…（10分）
∵，，且以CD為圓心的圓過點E，
∴EC⊥ED…（12分）
∴（x₁+1）（x₂+1）+y₁y₂=0
∴（1+k²）x₁x₂+（2k+1）（x₁+x₂）+5=0
∴（1+k²）×+（2k+1）×+5=0，解得k=＞1，
∴當k=時以CD為直徑的圓過定點E…（14分）
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查橢圓的性質，考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理的運用，考查向量知識，解題的關鍵是聯(lián)立方程，利用韋達定理求解．