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已知圓M：x2＋y2－2 mx－2ny－1＝0與圓N：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0交于A、B兩點，且這兩點平分圓N的圓周，求圓M的圓心軌跡方程，并求出其半徑最小的圓M的方程．

答案：
解析：

　　解：兩圓的方程相減，可得公共弦AB所在的直線方程為：2(m＋1)x＋2(n＋1)y－m2－1＝0．

　　由于A、B兩點平分圓N的圓周，

　　∴A、B為圓N的直徑的兩個端點，即AB經過圓心，

　　而N(－1，－1)，

　　∴－2(m＋1)－2(n＋1)－m2－1＝0，

　　即m2＋2m＋2n＋5＝0．

　　∴(m＋1)2＝－2(n＋2)(n≤－2)

　　由于圓M的圓心坐標為(m，n)，

　　從而可知圓M的圓心的軌跡方程為(x＋1)2＝－2(y＋2)．

　　又圓M的半徑為r＝(n≤－2)，

　　當且僅當n＝－2，m＝－1時取等號，

　　故半徑的最小值為，

　　此時圓M的方程為x2＋y2＋2x＋4y＝0．


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率e=
2
2
，左、右焦點分別為F1、F2，拋物線y2=4
2
x的焦點F恰好是該橢圓的一個頂點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知圓M：x2+y2=
2
3
的切線l與橢圓相交于A、B兩點，那么以AB為直徑的圓是否經過定點？如果是，求出定點的坐標；如果不是，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知圓M：x2+y2=4，在圓M上隨機取一點P，則P到直線x+y=2的距離大于2
2
的概率為
1
4
1
4
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2006•豐臺區(qū)一模）已知圓M：x2+y2+6x-4
3
y+17=0，過點A（-1，0）作△ABC，使其滿足條件：直線AB經過圓心M，∠BAC=30°，且B、C兩點均在圓M上，則直線AC的方程為
x=-1或x+
3
y+1=0
x=-1或x+
3
y+1=0
．

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科目：高中數學 來源：廣東省惠州一中、深圳高級中學2011－2012學年高一下學期期末聯考數學文科試題 題型：044

(1)已知圓C：x2＋y2＝4．直線l過點P(1，2)，且與圓C交于A、B兩點，若|AB|＝2，求直線l的方程；

(2)已知圓M：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0關于直線x＋y－1＝0對稱，圓心在第二象限，半徑為，求圓M的方程．

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