數(shù)列{an}是遞減的等差數(shù)列,{an}的前n項和是Sn,且S6=S9,有以下四個結(jié)論:
①a8=0;
②當(dāng)n等于7或8時,Sn取最大值;
③存在正整數(shù)k,使Sk=0;
④存在正整數(shù)m,使Sm=S2m;
其中所有正確結(jié)論的序號是( )
A.①②
B.①②③
C.②③④
D.①②③④
【答案】
分析:由S
6=S
9,得到a
7+a
8+a
9=0,利用等差數(shù)列的性質(zhì)化簡,得到a
8=0,進而得到選項①正確;再由數(shù)列{a
n}是遞減的等差數(shù)列以及a
8=0,可得出當(dāng)n等于7或8時,s
n取最大值,選項②正確;利用等差數(shù)列的前n項和公式表示出S
15,利用等差數(shù)列的性質(zhì)化簡后,將a
8的值代入可得出S
15=0,故存在正整數(shù)k,使S
k=0,選項③正確;當(dāng)m=5時,表示出S
10-S
5,利用等差數(shù)列的性質(zhì)化簡后,將a
8=0代入可得出S
10-S
5=0,即S
10=S
5 ,故存在正整數(shù)m,使S
m=S
2m,選項④正確.
解答:解:∵S
6=S
9,
∴a
7+a
8+a
9=0,
由等差數(shù)列性質(zhì)得:3a
8=0,可得:a
8=0,選項①正確;
∵數(shù)列{a
n}是遞減的等差數(shù)列,由已知a
1>a
2>…a
7>a
8=0>a
9…,
∴當(dāng)n等于7或8時,s
n取最大值,選項②正確;
∵a
8=0,則S
15=
(a
1+a
15)×15=15a
8=0,
∴存在正整數(shù)k=15,使s
k=0,選項③正確;
由等差數(shù)列性質(zhì),S
10-S
5=a
6+a
7+a
8+a
9+a
10=5a
8=0,即S
10=S
5 ,
∴存在正整數(shù)m=5,使s
m=s
2m,選項④正確,
則其中所有正確結(jié)論的序號是①②③④.
故選D
點評:本題考查了等差數(shù)列性質(zhì),以及等差數(shù)列的前n項和公式,利用了等量代換、以及整體代入的思想.利用a
8=0這一特殊項盤活了整個等量代換過程,故根據(jù)題意得出a
8=0是解本題的關(guān)鍵.