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對于定義域為G的函數f（x），如果同時滿足下列兩個條件：①f（x）在G內是單調函數；②存在區(qū)間[a，b]⊆G，使f（x）在[a，b]上的值域亦為[a，b]，那么就稱f（x）為好函數．
（Ⅰ）判斷函數f（x）= $數學公式$ +1在（0，+∞）上是否為好函數？并說明理由；
（Ⅱ）求好函數f（x）=-x³+1符合條件的一個區(qū)間[a，b]；
（Ⅲ）若函數f（x）=m+ $數學公式$ 是好函數，求實數m的取值范圍．

解：（Ⅰ）∵函數f（x）= $\text{[math]}$ +1
∴f′（x）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ …
又∵f′（e）＜0，f′（1）＞0，
∴f（x）= $\text{[math]}$ +1在（0，+∞）上不是單調函數…
∴f（x）= $\text{[math]}$ +1在（0，+∞）上不是好函數 …
（Ⅱ）∵f（x）=-x³+1在[a，b]上減函數
∴f（x）的最大值為f（a），最小值為f（b）
故函數f（x）的值域為[f（b），f（a）]…
∴f（a）=b，f（b）=a
即 $\text{[math]}$ 且a＜b …
∴解得a=0，b=1，故符合條件的一個閉區(qū)間為[0，1]…
（Ⅲ）∵f（x）=m+ $\text{[math]}$ 是好函數，
∴存在區(qū)間[a，b]⊆[-2，+∞），使f（x）=m+ $\text{[math]}$ 在[a，b]上的值域亦為[a，b]…
∵f′（x）= $\text{[math]}$ ＞0恒成立
故f（x）=m+ $\text{[math]}$ 在[-2，+∞）上為增函數
∴ $\text{[math]}$
∴a，b是方程 $\text{[math]}$ 的兩個相異實根，且a＜b
由 $\text{[math]}$ 得：x²-（2m+1）x+m²-2=0
故 $\text{[math]}$ 兩個相異實根
令f（x）=x²-（2m+1）x+m²-2
（�。┊攎≤-2時，可得 $\text{[math]}$
解得：m＞ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ＜m≤-2 …

（ⅱ）當m＞-2時， $\text{[math]}$

解得 $\text{[math]}$ ＜m≤-2，不符合題意
故綜上，m的取值范圍為 $\text{[math]}$ ＜m≤-2 …
【注】：對（Ⅲ），若不討論但答案對，則扣．
分析：（I）求出函數的導函數，由f′（e）＜0，f′（1）＞0，可得f（x）= $\text{[math]}$ +1在（0，+∞）上不是單調函數，再由好函數的定義，可得結論
（Ⅱ）由f（x）=-x³+1在[a，b]上減函數，可得f（a）=b，f（b）=a，即 $\text{[math]}$ 且a＜b，解方程組求出a，b值可得符合條件的區(qū)間[a，b]；
（III）利用導數法可得f（x）=m+ $\text{[math]}$ 在[-2，+∞）上為增函數，若函數f（x）=m+ $\text{[math]}$ 是好函數，則 $\text{[math]}$ ，即a，b是方程 $\text{[math]}$ 的兩個相異實根，即 $\text{[math]}$ 兩個相異實根，令f（x）=x²-（2m+1）x+m²-2，分m≤-2時，和m＞-2時兩種情況討論m的取值范圍，最后綜合討論結果可得答案．
點評：本題考查的知識點是函數單調性的判斷與證明，函數與方程的綜合應用，正確理解“好函數”的定義，并能根據定義，歸納整理解答相關問題的方法和步驟是解答的關鍵．

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科目：高中數學 來源： 題型：

對于定義域為D的函數y=f（x），如果存在區(qū)間[m，n]⊆D，同時滿足：
①f（x）在[m，n]內是單調函數；
②當定義域是[m，n]時，f（x）的值域也是[m，n]．
則稱[m，n]是該函數的“和諧區(qū)間”．
（1）證明：[0，1]是函數y=f（x）=x²的一個“和諧區(qū)間”．
（2）求證：函數y=g(x)=3-

不存在“和諧區(qū)間”．
（3）已知：函數y=h(x)=

(a2+a)x-1

a2x

（a∈R，a≠0）有“和諧區(qū)間”[m，n]，當a變化時，求出n-m的最大值．

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對于定義域為G的函數f（x），如果同時滿足下列兩個條件：①f（x）在G內是單調函數；②存在區(qū)間[a，b]⊆G，使f（x）在[a，b]上的值域亦為[a，b]，那么就稱f（x）為好函數．
（Ⅰ）判斷函數f（x）=

lnx

+1在（0，+∞）上是否為好函數？并說明理由；
（Ⅱ）求好函數f（x）=-x³+1符合條件的一個區(qū)間[a，b]；
（Ⅲ）若函數f（x）=m+

x+2

是好函數，求實數m的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

對于定義域為I的函數y=f（x），如果存在區(qū)間[m，n]⊆I，同時滿足：①f（x）在[m，n]內是單調函數；②當定義域是[m，n]，f（x）值域也是[m，n]，則稱[m，n]是函數y=f（x）的“好區(qū)間”．
（1）設g(x)=loga(ax-2a)+loga(ax-3a)（其中a＞0且a≠1），判斷g（x）是否存在“好區(qū)間”，并說明理由；
（2）已知函數P(x)=

(t2+t)x-1

t2x

(t∈R，t≠0)有“好區(qū)間”[m，n]，當t變化時，求n-m的最大值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

對于定義域為D的函數f（x），若同時滿足下列條件：①f（x）在D內有單調性；②存在區(qū)間[a，b]⊆D，使f（x）在區(qū)間[a，b]上的值域也為[a，b]，則稱f（x）為D上的“和諧”函數，[a，b]為函數f（x）的“和諧”區(qū)間．
（Ⅰ）求“和諧”函數y=x³符合條件的“和諧”區(qū)間；
（Ⅱ）判斷函數f(x)=x+

(x＞0)是否為“和諧”函數？并說明理由．
（Ⅲ）若函數g(x)=

x+4

+m是“和諧”函數，求實數m的取值范圍．

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