Question

4．設(shè)x是實(shí)數(shù)，定義[x]不超過實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)，如：[2]=2，[2.3]=2，[-2.3]=-3，記函數(shù)f（x）=x-[x]，函數(shù)g（x）=[3x+1]+$\frac{1}{2}$給出下列命題：
①函數(shù)f（x）在[-$\frac{1}{6}$，$\frac{2}{3}$]上有最小值，無最大值；       
②f（-$\frac{1}{2}$）=f（$\frac{1}{2}$）且f（x）為偶函數(shù)；
③若g（x）-2x=0的解集為M，則集合M的所有元素之和為-2；
④設(shè)a_n=f（$\frac{201{2}^{n}}{2013}$），則當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)$\sum_{i=1}^{n}$a_i=$\frac{n}{2}$，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，則$\sum_{i=1}^{n}$a_i=$\frac{n-1}{2}$+$\frac{2012}{2013}$．
其中正確的命題的序號(hào)是①③④．

Answer 1

分析 ①求出f（x）在x∈[-$\frac{1}{6}$，$\frac{2}{3}$]的解析式，判斷f（x）在[-$\frac{1}{6}$，$\frac{2}{3}$]上有最小值，無最大值；       
②計(jì)算f（-$\frac{1}{2}$）與f（$\frac{1}{2}$）的值，得出f（-$\frac{1}{2}$）≠f（$\frac{1}{2}$）；
③把方程g（x）-2x=0化為[3x+1]=2x-$\frac{1}{2}$，根據(jù)題意求出方程的解組成的集合M，計(jì)算M的所有元素之和為即可；
④求出a_n的通項(xiàng)公式，計(jì)算n為偶數(shù)和奇數(shù)時(shí)$\sum_{i=1}^{n}$a_i的值即可．

解答 解：對于①，x∈[-$\frac{1}{6}$，0）時(shí)，[x]=-1，f（x）=x+1；
x∈[0，$\frac{2}{3}$]時(shí)，[x]=0，f（x）=x；
所以x∈[-$\frac{1}{6}$，$\frac{2}{3}$]時(shí)，函數(shù)f（x）=x-[x]=$\left\{\begin{array}{l}{x+1，x∈[-\frac{1}{6}，0）}\\{x，x∈[0，\frac{2}{3}]}\end{array}\right.$；
即f（x）在[-$\frac{1}{6}$，$\frac{2}{3}$]上有最小值0，無最大值；命題正確．       
對于②，f（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$-（-1）=$\frac{3}{2}$，f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$-0=$\frac{1}{2}$，
所以f（-$\frac{1}{2}$）≠f（$\frac{1}{2}$），命題錯(cuò)誤．
對于③，方程g（x）-2x=0可化為[3x+1]+$\frac{1}{2}$-2x=0，
即[3x+1]=2x-$\frac{1}{2}$；
根據(jù)題意得，等式左邊為整數(shù)，設(shè)2x-$\frac{1}{2}$=k（k為整數(shù)），
解得x=$\frac{1}{2}$（k+$\frac{1}{2}$）；
所以3x+1=$\frac{3}{2}$（k+$\frac{1}{2}$）+1=$\frac{3}{2}$k+$\frac{7}{4}$，其整數(shù)部分為k；
當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，$\frac{3}{2}$k+$\frac{7}{4}$的整數(shù)部分為$\frac{3}{2}$（k+1）=k，
解得k=-3，此時(shí)x=-$\frac{5}{4}$；
當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，$\frac{3}{2}$k+$\frac{7}{4}$的整數(shù)部分為$\frac{3}{2}$k+1=k，
解得k=-$\frac{3}{4}$，此時(shí)x=-$\frac{3}{4}$；
則集合M={-$\frac{5}{4}$，-$\frac{3}{4}$}，
所以M的所有元素之和為-$\frac{5}{4}$-$\frac{3}{4}$=-2；命題正確．
④因?yàn)閍_n=f（$\frac{201{2}^{n}}{2013}$）=$\frac{{2012}^{n}}{2013}$-[$\frac{{2012}^{n}}{2013}$]=$\frac{{（2013-1）}^{n}}{2013}$-[$\frac{{（2013-1）}^{n}}{2013}$]=$\frac{{（-1）}^{n}}{2013}$-[$\frac{{（-1）}^{n}}{2013}$]，
所以當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)$\sum_{i=1}^{n}$a_i=（$\frac{-1}{2013}$+1）+（$\frac{1}{2013}$-0）+…+（$\frac{-1}{2013}$+1）+（$\frac{1}{2013}$-0）=$\frac{n}{2}$，
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)$\sum_{i=1}^{n}$a_i=（$\frac{-1}{2013}$+1）+（$\frac{1}{2013}$-0）+…+（$\frac{-1}{2013}$+1）+（$\frac{1}{2013}$-0）+（$\frac{-1}{2013}$+1）=$\frac{n-1}{2}$+$\frac{2012}{2013}$；命題正確．
綜上，正確的命題序號(hào)是①③④．
故答案為：①③④．

點(diǎn)評 本題考查了新定義函數(shù)的應(yīng)用問題，也考查了函數(shù)與數(shù)列的綜合應(yīng)用問題，也考查了轉(zhuǎn)化思想與集合思想的應(yīng)用問題，是較難的題目．