Question

已知多面體ABCDE中，AB⊥面ACD，DE⊥面ACD，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，F(xiàn)為CE的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：AF⊥CD
（Ⅱ）求直線AC與平面CBE所成角的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專(zhuān)題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（I）取CD的中點(diǎn)O，連接AG，GF，則GF∥DE，證明CD⊥平面AGF，由線面垂直的性質(zhì)，我們可以得到AF⊥CD；
（II）分別以

GD

，

GF

，

GA

為x，y，z軸建立空間坐標(biāo)系，求出各個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出平面CBE的法向量，代入向量夾角公式，即可得到直線AC與平面CBE所成角的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：取CD的中點(diǎn)，連接AG，GF，則GF∥DE．
∵AC=AD，∴AG⊥CD，
∵DE⊥平面ACD，∴DE⊥CD，∴GF⊥CD．
∵AG∩GF=G，∴CD⊥平面AGF．
∵AF?平面AGF，
∴CD⊥AF；
（Ⅱ）解：分別以

GD

，

GF

，

GA

為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系G-xyz．
則A(0，0，

3

)，B(0，1，

3

)，C(-1，0，0)，E(1，2，0)，
∴

CB

=(1，1，

3

)，

CE

=(2，2，0)，

CA

=(1，0，

3

)．
設(shè)平面CBE的法向量為

n

=(x，y，z)，
則

n • CB =x+y+ 3 z=0 n • CE =2x+2y=0

設(shè)x=1，則

n

=(1，-1，0)，
∴cos＜

CA

，

n

＞=

CA • n

| CA || n |

=

2

4

設(shè)直線AC與平面CBE所成角為θ，則sinθ=cos＜

CA

，

n

＞=

CA • n

| CA || n |

=

2

4

，
∴cosθ=

1-( 2 4 )2

=

14

4

，
∴直線AC與平面CBE所成角的余弦值為

14

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與平面垂直的性質(zhì)及直線與平面所成角的求法，在使用向量法求直線與平面所成角的大小時(shí)，建立坐標(biāo)系，求出平面的法向量是關(guān)鍵．