Question

某產品按行業(yè)生產標準分成8個等級，等級系數ξ依次為1，2，…，8，其中ξ≥5為標準A，ξ≥3為標準B，產品的等級系數越大表明產品的質量越好，已知某廠執(zhí)行標準B生產該產品，且該廠的產品都符合相應的執(zhí)行標準．從該廠生產的產品中隨機抽取30件，相應的等級系數組成一個樣本，數據如下：

ξ	3	4	5	6	7	8
件數	9	6	6	3	3	3

該行業(yè)規(guī)定產品的等級系數ξ≥7的為一等品，等級系數5≤ξ＜7的為二等品，等級系數3≤ξ＜5的為三等品．
（1）試分別估計該廠生產的產品的一等品率、二等品率和三等品率；
（2）已知該廠生產一件一等品的利潤為10元，生產一件二等品或三等品的利潤為2元．
用這個樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率，從該廠生產的產品中任取三件，其總利潤記為Y，求Y的平均值．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,相互獨立事件的概率乘法公式

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（1）由樣本數據知，30件產品中一等品有6件，二等品有9件，三等品有15件，由此能分別估計該廠生產的產品的一等品率、二等品率和三等品率．
（2）設取得一等品件數為X，則有Y=10x+2（3-x）=8X+6，由X～B（3，0.2），能求出E（x）=0.6，從而求出E（Y）=8E（x）+6=10.8元．

解答： 解：（1）由樣本數據知，30件產品中等級系數ξ≥7，有6件，
即一等品有6件，二等品有9件，三等品有15件
∴一等品的頻率為

6

30

=0.2，故估計該廠生產的產品的一等品率為0.2．
二等品的頻率為

9

30

=0.3，故估計該廠生產的產品的二等品率為0.3；
三等品的頻率為

15

30

=0.5，故估計該廠生產的產品的三等品的頻率為0.5．
（2）設取得一等品件數為X，則有Y=10x+2（3-x）=8X+6．
X～B（3，0.2）
∴X的分布列為

x	0	1	2	3
P（x）	0.512	0.384	0.096	0.008

∵X～B（3，0.2）∴E（x）=0.6．
E（Y）=8E（x）+6=10.8元．

點評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數學期望的求法及應用，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型．