Question

15．用適當(dāng)?shù)姆椒ㄗC明下列命題：
（1）$\sqrt{b+1}-\sqrt＜\sqrt{b-1}-\sqrt{b-2}（b≥2）$
（2）設(shè)a，b，c∈（0，+∞），求證：三個數(shù)中$a+\frac{1}，c+\frac{1}{a}，b+\frac{1}{c}$至少有一個不小于2．

Answer 1

分析 （1）用分析法即可證明．
（2）假設(shè)$a+\frac{1}，c+\frac{1}{a}，b+\frac{1}{c}$都小于2，則a+$\frac{1}$+c+$\frac{1}{a}$+b+$\frac{1}{c}$＜6，再結(jié)合基本不等式，引出矛盾，即可得出結(jié)論

解答 解：（1）要證：$\sqrt{b+1}$-$\sqrt$＜$\sqrt{b-1}$-$\sqrt{b-2}$（b≥2），
只要證$\sqrt{b+1}$+$\sqrt{b-2}$＜$\sqrt$+$\sqrt{b-1}$，
只要證（$\sqrt{b+1}$+$\sqrt{b-2}$）²＜（$\sqrt$+$\sqrt{b-1}$）²，
即2b-1+2$\sqrt{^{2}-b-2}$＜2b-1+2$\sqrt{^{2}-b}$
只要證$\sqrt{^{2}-b-2}$＜$\sqrt{^{2}-b}$
只要證b²-b-2＜b²-b，
只要證-2＜0，
顯然-2＜0成立，
故原不等式成立；
（2）證明：假設(shè)$a+\frac{1}，c+\frac{1}{a}，b+\frac{1}{c}$都小于2，則a+$\frac{1}$+c+$\frac{1}{a}$+b+$\frac{1}{c}$＜6．
∵a，b，c均大于0，
∴a+$\frac{1}$+c+$\frac{1}{a}$+b+$\frac{1}{c}$≥2+2+2+2=6，矛盾．
∴a+$\frac{1}$+c+$\frac{1}{a}$+b+$\frac{1}{c}$中至少有一個不小于2．

點評 本題考查了利用分析法證明不等式成立，反證法證明數(shù)學(xué)命題的方法和步驟，把要證的結(jié)論進行否定，得到要證的結(jié)論的反面，是解題的突破口關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化，屬于中檔題．