Question

命題p：已知“a-1＜x＜a+1：”是“x²-6x＜0”的充分不必要條件；命題q：?x∈（-1，+∞），x+

4

x+1

＞a恒成立．如果p為真命題，命題p且q為假，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：復合命題的真假

專題：簡易邏輯

分析：本題的關鍵是得到q命題：q：?x∈（-1，+∞），x+

4

x+1

＞a恒成立為真時a的取值范圍：x+1＞0，y=x+

4

x+1

=（x+1）+

4

x+1

-1≥2

(x+1)• 4 x+1

-1=3（當且僅當x+1=

4

x+1

即x=1時取“=”號）

解答： 解：∵p為真命題，命題p且q為假
∴p真q假
∵x²-6x＜0，
∴0＜x＜6
∴命題p為真，即“a-1＜x＜a+1”是“x²-6x＜0”的充分不必要條件得到

a-1≥0 a+1≤6

即1≤a≤5
又∵若命題q為真，q：?x∈（-1，+∞），x+

4

x+1

＞a恒成立
那么：x+1＞0，y=x+

4

x+1

=（x+1）+

4

x+1

-1≥2

(x+1)• 4 x+1

-1=3（當且僅當x+1=

4

x+1

即x=1時取“=”號）
∴?x∈(-1，+∞)，x+

4

x+1

＞a恒成立?3＞a
依題意p為真，p且q為假，則q為假
則有1≤a≤5．且a≥3，得到3≤a≤5
∴a的取值范圍為[3，5]

點評：本題考查的知識點是復合命題的真假判定，解決的辦法是先判斷組成復合命題的簡單命題的真假，再根據真值表進行判斷．