(文科做)已知點A1(2,0),A2(1,t),A3(0,b),A4(-1,t),A5(-2,0),其中t>0,b為正常數(shù).
(1)半徑為2的圓C1經(jīng)過Ai(i=1,2,…,5)這五個點,求b和t的值;
(2)橢圓C2以F1(-c,0),F(xiàn)2(c,0)(c>0)為焦點,長軸長是4.若AiF1+AiF2=4(i=1,2,…,5),試用b表示t;
(3)在(2)中的橢圓C2中,兩線段長的差A(yù)1F1-A1F2,A2F1-A2F2,…,A5F1-A5F2構(gòu)成一個數(shù)列{an},求證:對n=1,2,3,4都有an+1<an.(本小題解答中用到了橢圓的第一定義與焦半徑公式,新教材實驗區(qū)的學生可不解第三小題,請學習時注意)

解:(1)∵A1A5=4,則A1A5為⊙C1的直徑,∴圓心為A1,A5的中點(0,0)
∴⊙C1的方程是x2+y2=4,
∵A2(1,t),A3(0,b)在圓上,
∴b=2,
(2)∵橢圓C2以F1(-c,0),F(xiàn)2(c,0)(c>0)為焦點,長軸長是4,
∴橢圓C2的方程是,將A2(1,t)代入,
,得
(3)設(shè)Ai的坐標是(xi,yi),∵橢圓C2的左準線為
,則,(其中為橢圓的離心率)
AiF1-AiF2=2AiF1-2a=2exi
由于{xi}遞減,則對n=1,2,3,4都有an+1<an
分析:(1)注意到A1(2,0),A5(-2,0),且半徑為2的圓C1經(jīng)過Ai,故線段A1A5就是所求圓的直徑,O為圓心,寫出圓的標準方程即可
(2)橢圓長軸長是4,即a=2,故可設(shè)橢圓方程為,因為AiF1+AiF2=4,由橢圓定義知點A2(1,t)在橢圓上,代入橢圓方程即可用b表示t;
(3)利用焦半徑公式,AiF1=exi+a,再利用橢圓定義,即可得AiF1-AiF2=2AiF1-2a=2exi,可見數(shù)列{an}的項的大小只與點Ai的橫坐標有關(guān),進而易證an+1<an
點評:本題考察了圓的標準方程,橢圓的標準方程,橢圓的定義,橢圓的幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識及其應(yīng)用,本題解答中用到了橢圓的第二定義轉(zhuǎn)化,新教材實驗區(qū)的學生可不解第三小題,請學習時注意
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