【題目】已知橢圓C: + =1(a>b>0)的離心率為 ,且經(jīng)過點(diǎn)M(﹣3,﹣1).
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)若直線l:x﹣y﹣2=0與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)P為橢圓C上一動點(diǎn),當(dāng)△PAB的面積最大時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo)及△PAB的最大面積.
【答案】解:(Ⅰ)∵橢圓C: + =1(a>b>0)的離心率為 ,且經(jīng)過點(diǎn)M(﹣3,﹣1),
∴ ,解得a2=12,b2=4,
∴橢圓C的方程為 .
(Ⅱ)將直線x﹣y﹣2=0代入 中,消去y得,x2﹣3x=0.
解得x=0或x=3.…(5分)
∴點(diǎn)A(0,﹣2),B(3,1),∴|AB|= =3 .
在橢圓C上求一點(diǎn)P,使△PAB的面積最大,則點(diǎn)P到直線l的距離最大.
設(shè)過點(diǎn)P且與直線l平行的直線方程為y=x+b.
將y=x+b代入 ,整理得4x2+6bx+3(b2﹣4)=0.
令△=(6b)2﹣4×4×3(b2﹣4)=0,解得b=±4.
將b=±4代入方程4x2+6bx+3(b2﹣4)=0,解得x=±3.
由題意知當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(﹣3,1)時(shí),△PAB的面積最大.
且點(diǎn)P(﹣3,1)到直線l的距離為d= =3 .
△PAB的最大面積為S= =9.
【解析】(Ⅰ)利用橢圓的離心率為 ,且經(jīng)過點(diǎn)M(﹣3,﹣1),列出方程組,求出a,b,由此能求出橢圓C的方程.(Ⅱ)將直線x﹣y﹣2=0代入 中,得,x2﹣3x=0.求出點(diǎn)A(0,﹣2),B(3,1),從而|AB|=3 ,在橢圓C上求一點(diǎn)P,使△PAB的面積最大,則點(diǎn)P到直線l的距離最大.設(shè)過點(diǎn)P且與直線l平行的直線方程為y=x+b.將y=x+b代入 ,得4x2+6bx+3(b2﹣4)=0,由根的判別式求出點(diǎn)P(﹣3,1)時(shí),△PAB的面積最大,由此能求出△PAB的最大面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=xlnx+ax,a∈R.
(1)當(dāng)a=1時(shí),求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程;
(2)若對x>1,f(x)>(b+a﹣1)x﹣b恒成立,求整數(shù)b的最大值.
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【題目】甲、乙二人參加某體育項(xiàng)目訓(xùn)練,近期的五次測試成績得分情況如圖所示.
(1)分別求出兩人得分的平均數(shù)與方差;
(2)根據(jù)圖和上面算得的結(jié)果,對兩人的訓(xùn)練成績作出評價(jià).
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【題目】已知為奇函數(shù), 為偶函數(shù),且.
(1)求及的解析式及定義域;
(2)若關(guān)于的不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
(3)如果函數(shù),若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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【題目】在已知函數(shù),(其中,,)的圖象與軸的交點(diǎn)中,相鄰兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為,且圖象上一個(gè)最低點(diǎn)為
(1)求的解析式;
(2)當(dāng)時(shí),求的值域;
(3)求在上的單調(diào)區(qū)間.
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【題目】在如圖所示的幾何體中,四邊形是正方形, 平面, 分別為的中點(diǎn),且.
(1)求證:平面平面;
(2)求證:平面平面;
(3)求三棱錐與四棱錐的體積之比.
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【題目】已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)= 是奇函數(shù).
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)已知f(x)在定義域上為減函數(shù),若對任意的t∈R,不等式f(t2﹣2t)+f(2t2﹣k)<0(k為常數(shù))恒成立.求k的取值范圍.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系 中,以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線 的極坐標(biāo)方程是 ,圓 的極坐標(biāo)方程是 .
(1)求 與 交點(diǎn)的極坐標(biāo);
(2)設(shè) 為 的圓心, 為 與 交點(diǎn)連線的中點(diǎn),已知直線 的參數(shù)方程是 ( 為參數(shù)),求 的值.
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【題目】已知 ,在 的展開式中,第二項(xiàng)系數(shù)是第三項(xiàng)系數(shù)的 .
(Ⅰ)展開式中二項(xiàng)系數(shù)最大項(xiàng);
(Ⅱ)若 ,求① 的值;② 的值.
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