Question

右圖是一個(gè)直三棱柱（以A₁B₁C₁為底面），被一平面所截得的幾何體，截面為ABC．已知A₁B₁=B₁C₁=1，∠A₁B₁C₁=90⁰，AA₁=4，BB₁=2，CC₁=3
（I）設(shè)點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，證明：OC∥平面A₁B₁C₁
（II）求AB與平面AA₁CC₁所成角的大小．

Answer 1

分析：法一：（1）要證明OC∥平面A₁B₁C₁可利用線面平行的判定定理來證明則可過OD∥AA₁交A₁B₁于D，連C₁D則根據(jù)直三棱柱的性質(zhì)和平行的傳遞性可得OD∥AA₁交A₁B₁于D，并且根據(jù)梯形的中位線定理可得OD=

1

2

(AA1+BB1)=3=CC1即可得ODC₁C是平行四邊形故OC∥C₁D然后根據(jù)線面平行的判定定理即可證明．
（2）過B作截面BA₂C₂∥面A₁B₁C₁分別交AA₁，CC₁于A₂，C₂根據(jù)直三棱柱的性質(zhì)可得面BA₂C₂⊥面AA₁C₁C然后根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理和△A₁B₁C₁的特征可得過B作面AA₁C₁C的垂線這垂足落在A₂C₂的中點(diǎn)H上則∠BAH就是AB與面AA₁C₁C所成的角再利用條件解△AHB即可求解．
法二：可利用向量的有關(guān)知識(shí)來證明．根據(jù)題意可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
（1）根據(jù)空間直角坐標(biāo)系可求出

OC

=(1，-

1

2

，0)且平面A₁B₁C₁的一個(gè)法向量為

n

=(0，0，1)再根據(jù)向量的數(shù)量積可得

OC

•

n

=0即可證明平面A₁B₁C₁知OC∥平面A₁B₁C₁．
（2）求出

AB

=(0，-1，-2)，和平面AA₁C₁C的一個(gè)法向量

m

=(1，1，0)根據(jù)響亮的夾角公式可求出，cos＜

m

，

AB

＞=

m • AB

| m |•| AB |

=-

10

10

＜0故AB與平面AA₁CC₁所成角θ=＜

m

，

AB

＞-

π

2

從而求出sinθ=

10

10

即θ=arcsin

10

10

解答：解：（Ⅰ）證明：作OD∥AA₁交A₁B₁于D，連C₁D．
則OD∥AA₁交A₁B₁于D，連C₁D因?yàn)镺是AB的中點(diǎn)，
所以OD=

1

2

(AA1+BB1)=3=CC1．
則ODC₁C是平行四邊形，因此有OC∥C₁D，C₁D?平面C₁B₁A₁，且OC?平面C₁B₁A₁
則OC∥面A₁B₁C₁．         …．（7分）
（Ⅱ）解：如圖，過B作截面BA₂C₂∥面A₁B₁C₁，分別交AA₁，CC₁于A₂，C₂，
作BH⊥A₂C₂于H，
因?yàn)槠矫鍭₂BC₂⊥平面AA₁C₁C，則BH⊥面AA₁C₁C．
連接AH，則∠BAH就是AB與面AA₁C₁C所成的角．
因?yàn)?span id="4tnnju9" class="MathJye">BH=

2

2

，AB=

5

，所以sin∠BAH=

BH

AB

=

10

10

．AB與面AA₁C₁C所成的角為∠BAH=arcsin

10

10

．…．（14分）
解法二：
（Ⅰ）證明：如圖，以B₁為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則A（0，1，4），B（0，0，2），C（1，0，3），因?yàn)镺是AB的中點(diǎn)，所以O(0，

1

2

，3)，

OC

=(1，-

1

2

，0)，
易知，

n

=(0，0，1)是平面A₁B₁C₁的一個(gè)法向量．
由

OC

•

n

=0且OC?平面A₁B₁C₁知OC∥平面A₁B₁C₁．
…．（7分）
（Ⅱ）設(shè)AB與面AA₁C₁C所成的角為θ．
求得

A1A

=(0，0，4)，

A1C1

=(1，-1，0)．
設(shè)

m

=(x，y，z)是平面AA₁C₁C的一個(gè)法向量，則由

A1A • m =0 A1C1 • m =0

得

z=0 x-y=0

，
取x=y=1得：

m

=(1，1，0)．
又因?yàn)?span id="4aetgy0" class="MathJye">

AB

=(0，-1，-2)，，
所以，cos＜

m

，

AB

＞=

m • AB

| m |•| AB |

=-

10

10

則sinθ=

10

10

．
所以AB與面AA₁C₁C所成的角為arcsin

10

10

．…．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了線面平行的證明和線面角的求解．解題的關(guān)鍵是熟練掌握幾何法和向量法是解決此類問題常用的方法！