Question

設(shè)P₁（x₁，y₁），P₁（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n）（n≥3，n∈N） 是二次曲線C上的點(diǎn)，且a₁=|OP₁|²，a₂=|OP₂|²，…，a_n=|OP_n|²構(gòu)成了一個(gè)公差為d（d≠0） 的等差數(shù)列，其中O是坐標(biāo)原點(diǎn)．記S_n=a₁+a₂+…+a_n．
（1）若C的方程為

x2

9

-y²=1，n=3．點(diǎn)P₁（3，0） 及S₃=162，求點(diǎn)P₃的坐標(biāo)；（只需寫(xiě)出一個(gè)）
（2）若C的方程為y²=2px（p≠0）．點(diǎn)P₁（0，0），對(duì)于給定的自然數(shù)n，證明：（x₁+p）²，（x₂+p）²，…，（x_n+p）²成等差數(shù)列；
（3）若C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．點(diǎn)P₁（a，0），對(duì)于給定的自然數(shù)n，當(dāng)公差d變化時(shí)，求S_n的最小值．

符號(hào)意義	本試卷所用符號(hào)	等同于《實(shí)驗(yàn)教材》符號(hào)
向量坐標(biāo)	a ={x，y}	a =（x，y）
正切	tg	tan

Answer 1

分析：（1）利用條件求出a₃的值．再聯(lián)立二次曲線求出點(diǎn)P₃的坐標(biāo)即可．
（2）先利用定義求出|OP_k|²，再聯(lián)立二次曲線求出（x_k+p）²表達(dá)式，就可下結(jié)論．
（3）先求出原點(diǎn)O到二次曲線上各點(diǎn)的最小距離和最大距離；再利用定義求出a_n的通項(xiàng)以及S_n的表達(dá)式，利用公差d的范圍，求出S_n的最小值即可．

解答：解：（1）a₁=|OP₁|²=9，由S₃=

3

2

（a₁+a₃）=162，得a₃=|OP₃|³=99．
由

x2 9 -y2=1 x2+ y2=99

得

x2=90 y2=9

∴點(diǎn)P₃的坐標(biāo)可以為（3

10

，3）．
（2）對(duì)每個(gè)自然數(shù)k，1≤k≤n，由題意|OP_k|²=（k-1）d，
及

y 2 k =2pxk x 2 k + y 2 k =(k-1)d

即（x_k+p）²=p²+（k-1）d，
∴（x₁+p）²，（x₂+p）²，…（x_n+p）²是首項(xiàng)為p²，公差為d的等差數(shù)列．
（3）原點(diǎn)O到二次曲線
C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上各點(diǎn)的最小距離為b，最大距離為a．
∵a₁=|OP₁|²=a²，∴d＜0，且a_n=|OP_n|²=a²+（n-1）d≥b²，
∴

b2-a2

n-1

≤d＜0．∵n≥3，

n(n-1)

2

＞0
∴S_n=na²+

n(n-1)

2

d在[

b2-a2

n-1

，0）上遞增，
故S_n的最小值為na²+

n(n-1)

2

•

b2-a2

n-1

=

n(a2+b2)

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題是對(duì)數(shù)列和函數(shù)以及二次曲線的綜合考查．其中涉及到了等差數(shù)列的證明，數(shù)列的求和等知識(shí)點(diǎn)，是一道不太容易的題．