精英家教網(wǎng)如圖,M(-2,0)和N(2,0)是平面上的兩點,動點P滿足:|PM|+|PN|=6.
(Ⅰ)求點P的軌跡方程;
(Ⅱ)若|PM|•|PN|=
21-cos∠MPN
,求點P的坐標(biāo).
分析:(1)先根據(jù)題意求出a,b,c的值,再代入到橢圓方程的標(biāo)準(zhǔn)形式中,可得到答案.
(2)先將|PM|•|PN|=
2
1-cos∠MPN
轉(zhuǎn)化為|PM|•|PN|cosMPN=|PM|•|PN|-2的形式,再由余弦定理得到|MN|2=|PM|2+|PN|2-2|PM|•|PN|cosMPN,二者聯(lián)立后再由點P在橢圓方程上可得到最后答案.
解答:精英家教網(wǎng)解:(Ⅰ)由橢圓的定義,點P的軌跡是以M、N為焦點,長軸長2a=6的橢圓.
因此半焦距c=2,長半軸a=3,從而短半軸b=
a2-c2
=
5
,
所以橢圓的方程為
x2
9
+
y2
5
=1


(Ⅱ)由|PM|•|PN|=
2
1-cosMPN
,得|PM|•|PN|cosMPN=|PM|•|PN|-2.①
因為cosMPN≠1,P不為橢圓長軸頂點,故P、M、N構(gòu)成三角形.
在△PMN中,|MN|=4,由余弦定理有|MN|2=|PM|2+|PN|2-2|PM|•|PN|cosMPN.②
將①代入②,得42=|PM|2+|PN|2-2(|PM|•|PN|-2).
故點P在以M、N為焦點,實軸長為2
3
的雙曲線
x2
3
-y2=1
上.
由(Ⅰ)知,點P的坐標(biāo)又滿足
x2
9
+
y2
5
=1

所以由方程組
5x2+9y2=45
x2-3y2=3
解得
x=±
3
3
2
y=±
5
2
.

即P點坐標(biāo)為(
3
3
2
,
5
2
)、(
3
3
2
,-
5
2
)、(-
3
3
2
,
5
2
)
(-
3
3
2
,-
5
2
)
點評:本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、離心率、第二定義、準(zhǔn)線方程、a,b,c的基本關(guān)系等都是高考的考點,要熟練掌握.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,M(-2,0)和N(2,0)是平面上的兩點,動點P滿足:||PM|-|PN||=2.
(Ⅰ)求點P的軌跡方程;
(Ⅱ)設(shè)d為點P到直線l:x=
1
2
的距離,若|PM|=2|PN|2,求
|PM|
d
的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:重慶市高考真題 題型:解答題

如圖,M(-2,0)和N(2,0)是平面上的兩點,動點P滿足:|PM|+|PN|=6,
(Ⅰ)求點P的軌跡方程;
(Ⅱ)若|PM|·|PN|=,求點P的坐標(biāo)。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,M(-2,0)和N(2,0)是平面上的兩點,動點P滿足:

                             

(Ⅰ)求點P的軌跡方程;

(Ⅱ)設(shè)d為點P到直線l: 的距離,若,求的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2008年重慶市高考數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

如圖,M(-2,0)和N(2,0)是平面上的兩點,動點P滿足:|PM|+|PN|=6.
(Ⅰ)求點P的軌跡方程;
(Ⅱ)若,求點P的坐標(biāo).

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