Question

4．已知A，B，C，D是⊙O上的四個(gè)點(diǎn)
（Ⅰ）如圖1，若∠ADC=∠BCD=90°，AB=BC，求證：AC⊥BD；
（Ⅱ）如圖2，若AC⊥BD于點(diǎn)E，AB=6，DC=8，求⊙O的面積S．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)題意不難證明四邊形ABCD是正方形，結(jié)論可以得到證明；
（Ⅱ）連結(jié)DO，延長交圓O于F，連結(jié)CF、BF．根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，得∠DCF=∠DBF=90°，則BF∥AC，根據(jù)平行弦所夾的弧相等，得弧CF=弧AB，則CF=AB．根據(jù)勾股定理即可求解．

解答 解：（Ⅰ）∵∠ADC=∠BCD=90°，
∴AC、BD是⊙O的直徑，
∴∠DAB=∠ABC=90°，
∴四邊形ABCD是矩形，
∵AB=BC，
∴四邊形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD；
（Ⅱ）連結(jié)DO，延長交圓O于F，連結(jié)CF、BF．
∵DF是直徑，
∴∠DCF=∠DBF=90°，
∴FB⊥DB，
又∵AC⊥BD，
∴BF∥AC，∠BDC+∠ACD=90°，
∵∠FCA+∠ACD=90°
∴∠BDC=∠FCA=∠BAC
∴等腰梯形ACFB
∴CF=AB．
根據(jù)勾股定理，得
CF²+DC²=AB²+DC²=DF²=100，
∴DF=10，
∴OD=5，即⊙O的半徑為5，
∴⊙O的面積S=25π．

點(diǎn)評 此題綜合運(yùn)用了圓周角定理的推論、垂徑定理的推論、等弧對等弦以及勾股定理．學(xué)會(huì)作輔助線是解題的關(guān)鍵．